2017　大学入試センター試験　本試験　数学II・IIBMathJax

【１】

［１］　連立方程式

$\{\begin{array}{ll}\cos 2\alpha +\cos 2\beta ={\displaystyle \frac{4}{15}}& \cdots \text{①}\\ \cos \alpha \cos \beta =-{\displaystyle \frac{2\sqrt{15}}{15}}& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．ただし，$0\leqq \alpha \leqq \pi \text{，}$$0\leqq \beta \leqq \pi$であり，$\alpha <\beta$かつ

$|\cos \alpha |\geqq |\cos \beta |\cdots \text{③}$

とする．このとき，$\cos \alpha$と$\cos \beta$の値を求めよう．

　$2$倍角の公式を用いると，$\text{①}$から

${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}}$

が得られる．また，$\text{②}$から，${\cos }^2\alpha {\cos }^2\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{15}}$である．

　したがって，条件$\text{③}$を用いると

${\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\text{，}$${\cos }^2\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．よって，$\text{②}$と条件$0\leqq \alpha \leqq \pi \text{，}$$0\leqq \beta \leqq \pi \text{，}$$\alpha <\beta$から

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}$$\cos \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

【１】

［２］　座標平面上に点$\mathrm{A}(0,{\displaystyle \frac{3}{2}})$をとり，関数$y={\log }_{2}x$のグラフ上に$2$点$\mathrm{B}(p,{\log }_{2}p)\text{，}$$\mathrm{C}(q,{\log }_{2}q)$をとる．線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点が$\mathrm{C}$であるとき，$p\text{，}q$の値を求めよう．

　真数の条件により，$p>\boxed{\text{タ}}\text{，}$$q>\boxed{\text{タ}}$である．ただし，対数${\log }_{a}b$に対し，$a$を底といい，$b$を真数という．

　線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点の座標は，$p$を用いて

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}p,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}{\log }_{2}p+\boxed{\text{ナ}})$

と表される．これが$\mathrm{C}$の座標と一致するので

$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}p=q& \cdots \text{④}\\ {\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}{\log }_{2}p+\boxed{\text{ナ}}={\log }_{2}q& \cdots \text{⑤}\end{array}$

が成り立つ．

　$\text{⑤}$は

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}{q}^{\boxed{\text{ネ}}}\cdots \text{⑥}$

と変形できる．$\text{④}$と$\text{⑥}$を連立させた方程式を解いて，$p>\boxed{\text{タ}}\text{，}q>\boxed{\text{タ}}$に注意すると

$p=\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}\text{，}$$q=\boxed{\text{ヒ}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}}$

である．

　また，$\mathrm{C}$の$y$座標${\log }_2(\boxed{\text{ヒ}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}})$の値を，小数第$2$位を四捨五入して小数第$1$位まで求めると，$\boxed{\text{ヘ}}$である．$\boxed{\text{ヘ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{b}}$のうちから一つ選べ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$とする．

• $\overline{)\text{0}}$　$0.3$
• $\overline{)\text{1}}$　$0.6$
• $\overline{)\text{2}}$　$0.9$
• $\overline{)\text{3}}$　$1.3$
• $\overline{)\text{4}}$　$1.6$
• $\overline{)\text{5}}$　$1.9$
• $\overline{)\text{6}}$　$2.3$
• $\overline{)\text{7}}$　$2.6$
• $\overline{)\text{8}}$　$2.9$
• $\overline{)\text{9}}$　$3.3$
• $\overline{)\text{a}}$　$3.6$
• $\overline{)\text{b}}$　$3.9$

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の放物線$y=x^2+1$を$C$とし，点$(a,2a)$を$\mathrm{P}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$を通り，放物線$C$に接する直線の方程式を求めよう．

　$C$上の点$(t,t^2+1)$における接線の方程式は

$y=\boxed{\text{ア}}tx-t^2+\boxed{\text{イ}}$

である．この直線が$\mathrm{P}$を通るとすると，$t$は方程式

$t^2-\boxed{\text{ウ}}at+\boxed{\text{エ}}a-\boxed{\text{オ}}=0$

を満たすから，$t=\boxed{\text{カ}}a-\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}$である．よって，$a\ne \boxed{\text{ケ}}$のとき，$\mathrm{P}$を通る$C$の接線は$2$本あり，それらの方程式は

$y=(\boxed{\text{コ}}a-\boxed{\text{サ}})x$$-\boxed{\text{シ}}{a}^2+\boxed{\text{ス}}a$$\cdots \text{①}$

と

$y=\boxed{\text{セ}}x$

である．

(2)　(1)の方程式$\text{①}$で表される直線を$l$とする．$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(0,r)$とすると，$r=-\boxed{\text{シ}}{a}^2+\boxed{\text{ス}}a$である．$r>0$となるのは，$\boxed{\text{ソ}}<a<\boxed{\text{タ}}$のときであり，このとき，三角形$\mathrm{OPR}$の面積$S$は

$S=\boxed{\text{チ}}(a^{\boxed{\text{ツ}}}-a^{\boxed{\text{テ}}})$

となる．

　$\boxed{\text{ソ}}<a<\boxed{\text{タ}}$のとき，$S$の増減を調べると，$S$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$をとることがわかる．

(3)　$\boxed{\text{ソ}}<a<\boxed{\text{タ}}$のとき，放物線$C$と(2)の直線$l$および$2$直線$x=0\text{，}$$x=a$で囲まれた図形の面積を$T$とすると

$T={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}{a}^3-\boxed{\text{ヒ}}{a}^2+\boxed{\text{フ}}$

である．${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\leqq a<\boxed{\text{タ}}$の範囲において，$T$は$\boxed{\text{ヘ}}\text{．}$$\boxed{\text{ヘ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

【３】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,3)\text{，}$$\mathrm{B}(8,9)$をとる．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線の方程式は$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}x+\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{エオ}}$である．

(3)　線分$\mathrm{AB}$を直径とする円$C$の方程式は

${(x-\boxed{\text{カ}})}^2+{(y-\boxed{\text{キ}})}^2=\boxed{\text{クケ}}$

である．また，$\mathrm{A}$における$C$の接線の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}x+\boxed{\text{ス}}$$\cdots \text{①}$

である．

(4)　三角形$\mathrm{ABP}$の面積が$20$である点$\mathrm{P}$の軌跡は，$2$直線

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}x+\boxed{\text{タ}}$$\cdots \text{②}$

と

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}x-\boxed{\text{チ}}$

である．

(5)　直線$\text{①}$と直線$\text{②}$の交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$であり，円$C$と直線$\text{②}$の交点の$x$座標は$\boxed{\text{ニ}}$と${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

(6)　三角形$\mathrm{ABP}$の面積が$20$であり，かつ三角形$\mathrm{ABP}$が直角三角形であるような点$\mathrm{P}$は全部で$\boxed{\text{ハ}}$個ある．

【４】(1)　$4$次式$P(x)$は，$x^4$の係数が$1$で，$x^2-2x+3$で割り切れるとする．また，$P(x)$は$P(1)=12\text{，}$$P(2)=15$を満たすとする．

　$P(x)$を$x^2-2x+3$で割った商を$S(x)=x^2+mx+n$（$m\text{，}$$n$は実数）とおくと，$S(1)=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$S(2)=\boxed{\text{イ}}$であるから，$m=\boxed{\text{ウエ}}\text{，}$$n=\boxed{\text{オ}}$である．方程式$S(x)=0$の解は

$\boxed{\text{カ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{キ}}}i$

である．

【４】(2)　$2$次式$Q(x)=x^2+kx+l$（$k\text{，}l$は実数）を考える．$c$を正の実数として，$\alpha =c+{\displaystyle \frac{1}{c}}i$とする．方程式$Q(x)=0$は複素数$\alpha$を解にもつとする．

　$Q(x)$の$x$に$\alpha$を代入すると

$Q(\alpha )={\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{c^2}}+c^2+\boxed{\text{コ}}k$$+l+(\boxed{\text{サ}}+{\displaystyle \frac{k}{c}})i$

となる．$k\text{，}$$l$を$c$を用いて表すと，$k=\boxed{\text{シスセ}}\text{，}$$l={\displaystyle \frac{c^{\boxed{\text{ソ}}}+\boxed{\text{タ}}}{c^2}}$である．

　二項定理から，$\alpha$の$4$乗は${\alpha }^4=\boxed{\text{チ}}+\boxed{\text{ツ}}i$となる．$\boxed{\text{チ}}\text{，}$$\boxed{\text{ツ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{b}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを選んでもよい．

　相加平均と相乗平均の関係から，$c$が$c>0$の範囲を動くとき，${\alpha }^2$の実部$\boxed{\text{チ}}$は$c=\boxed{\text{テ}}$で最大値$\boxed{\text{トナ}}$をとり，そのとき，$k=\boxed{\text{ニヌ}}\text{，}$$l=\boxed{\text{ネ}}$である．

【３】　以下において考察する数列の項は，すべて実数であるとする．

(1)　等比数列$\{s_n\}$の初項が$1\text{，}$公比が$2$であるとき

$s_1{s}_2{s}_3=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$s_1+s_2+s_3=\boxed{\text{イ}}$

である．

(2)　$\{s_n\}$を初項$x\text{，}$公比$r$の等比数列とする．$a\text{，}$$b$を実数（ただし$a\ne 0$）とし，$\{s_n\}$の最初の$3$項が

$s_1{s}_2{s}_3=a^3$$\cdots \text{①}$

$s_1+s_2+s_3=b$$\cdots \text{②}$

を満たすとする．このとき

$xr=\boxed{\text{ウ}}$$\cdots \text{③}$

である．さらに，$\text{②}\text{，}$$\text{③}$を用いて$r\text{，}a\text{，}$$b$の満たす関係式を求めると

$\boxed{\text{エ}}{r}^2+(\boxed{\text{オ}}-\boxed{\text{カ}})r+\boxed{\text{キ}}=0$$\cdots \text{④}$

を得る．$\text{④}$を満たす実数$r$が存在するので

$\boxed{\text{ク}}{a}^2+\boxed{\text{ケ}}ab-b^2\leqq 0$$\cdots \text{⑤}$

である．

　逆に，$a\text{，}$$b$が$\text{⑤}$を満たすとき，$\text{③}\text{，}$$\text{④}$を用いて$r\text{，}$$x$の値を求めることができる．

(3)　$a=64\text{，}$$b=336$のとき，(2)の条件$\text{①}\text{，}$$\text{②}$を満たし，公比が$1$より大きい等比数列$\{s_n\}$を考える．$\text{③}\text{，}\text{④}$を用いて$\{s_n\}$の公比$r$と初項$x$を求めると，$r=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$x=\boxed{\text{サシ}}$である．

　$\{s_n\}$を用いて，数列$\{t_n\}$を

$t_n=s_n{\log }_{\boxed{\text{コ}}}{s}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．このとき，$\{t_n\}$の一般項は$t_n=(n+\boxed{\text{ス}})\cdot {\boxed{\text{コ}}}^{n+\boxed{\text{セ}}}$である．$\{t_n\}$の初項から第$n$項までの和$U_n$は，$U_n-\boxed{\text{コ}}{U}_n$を計算することにより

$U_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}n+\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\cdot {\boxed{\text{コ}}}^{n+\boxed{\text{ツ}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

であることがわかる．

【４】　座標平面上に点$\mathrm{A}(2,0)$をとり，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径が$2$の円周上に点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が順に正六角形の頂点となるようにとる．ただし，$\mathrm{B}$は第$1$象限にあるとする．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\sqrt{\boxed{\text{イ}}})\text{，}$点$\mathrm{D}$の座標は$(-\boxed{\text{ウ}},0)$である．

(2)　線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を求めよう．

　$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$は実数$r\text{，}s$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+r\overrightarrow{\mathrm{AM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$2$通りに表すことができる．ここで

$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}})$

$\overrightarrow{\mathrm{DC}}=(\boxed{\text{ク}},\sqrt{\boxed{\text{ケ}}})$

であるから

$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．よって

$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}})$

である．

(3)　線分$\mathrm{BF}$上に点$\mathrm{P}$をとり，その$y$座標を$a$とする．点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{CE}$に引いた垂線と，点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{EP}$に引いた垂線との交点を$\mathrm{H}$とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{EP}}$が

$\overrightarrow{\mathrm{EP}}=(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}}+\sqrt{\boxed{\text{ナ}}})$

と表せることにより，$\mathrm{H}$の座標を$a$を用いて表すと

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}{a}^{\boxed{\text{ヌ}}}+\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}},\boxed{\text{ハ}})$

である．

　さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta ={\displaystyle \frac{12}{13}}$のとき，$a$の値は

$a=\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フヘ}}}}$

である．

【５】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

(1)　$1$回の試行において，事象$A$の起こる確率が$p\text{，}$起こらない確率が$1-p$であるとする．この試行を$n$回繰り返すとき，事象$A$の起こる回数を$W$とする．確率変数$W$の平均（期待値）$m$が${\displaystyle \frac{1216}{27}}\text{，}$標準偏差$\sigma$が${\displaystyle \frac{152}{27}}$であるとき，$n=\boxed{\text{アイウ}}\text{，}$$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$である．

(2)　(1)の反覆試行において，$W$が$38$以上となる確率の近似値を求めよう．

　いま

$P(W\geqq 38)=P({\displaystyle \frac{W-m}{\sigma }}\geqq -\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{クケ}})$

と変形できる．ここで，$Z={\displaystyle \frac{W-m}{\sigma }}$とおき，$W$の分布を正規分布で近似すると，正規分布表から確率の近似値は次のように求められる．

$P(Z\geqq -\boxed{\text{キ}}.\boxed{\text{クケ}})=0.\boxed{\text{コサ}}$

(3)　連続型確率変数$X$のとり得る値$x$の範囲が$s\leqq x\leqq t$で，確率密度関数が$f(x)$のとき，$X$の平均$E(X)$は次の式で与えられる．

$E(X)={\displaystyle {\int }_s^t}xf(x)dx$

　$a$を正の実数とする．連続型確率変数$X$のとり得る値$x$の範囲が$-a\leqq x\leqq 2a$で，確率密度関数が

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2}{3a^2}}(x+a)& \text{（}-a\leqq x\leqq 0\text{のとき）}\\ {\displaystyle \frac{1}{3a^2}}(2a-x)& \text{（}0\leqq x\leqq 2a\text{のとき）}\end{array}$

であるとする．このとき，$a\leqq X\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}a$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

　また，$X$の平均は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．さらに，$Y=2X+7$とおくと，$Y$の平均は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}+\boxed{\text{テ}}$

である．