2017　北海道大学　前期MathJax

【１】　自然数の$2$乗となる数を平方数という．

(1)　自然数$a\text{，}n\text{，}k$に対して，$n(n+1)+a={(n+k)}^2$が成り立つとき，

$a\geqq k^2+2k-1$

が成り立つことを示せ．

(2)　$n(n+1)+7$が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ．

【２】　平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．円$C$の内部に点$\mathrm{A}$がある．円$C$の周上を$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が条件$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を満たすながら動く．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=r\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とする．ただし，$0<r<1$とする．

(1)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{AR}}\right|}^2$を内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{B}$で，${\left|\overrightarrow{\mathrm{BR}}\right|}^2$が$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の位置によらず一定であるものを求めよ．また，このときの${\left|\overrightarrow{\mathrm{BR}}\right|}^2$の値を$r$を用いて表せ．

【３】　正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点を移動する点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，$1$秒ごとに，隣の$3$頂点のいずれかに等しい確率${\displaystyle \frac{a}{3}}$で移るか，もとの頂点に確率$1-a$で留まる．初め頂点$\mathrm{A}$にいた点$\mathrm{P}$が，$n$秒後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率を$p_n$とする．ただし，$0<a<1$とし，$n$は自然数とする．

(1)　数列$\{p_n\}$の漸化式を求めよ．

(2)　確率$p_n$を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を実数とし，関数$f(x)$が

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-a{x}^2+(a^2-b)x+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)dt$

を満たすとする．

(1)　$f(0)$の値を$a$を用いて表せ．

(2)　関数$f(x)$が$x>1$の範囲で極大値を持つとする．このような$a\text{，}b$が満たす条件を求めよ．また，点$\mathrm{P}(a,b)$の存在範囲を座標平面上に図示せよ．

【１】　自然数の$2$乗となる数を平方数という．

(1)　自然数$a\text{，}n\text{，}k$に対して，$n(n+1)+a={(n+k)}^2$が成り立つとき，

$a\geqq k^2+2k-1$

が成り立つことを示せ．

(2)　$n(n+1)+14$が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ．

【２】　関数$f(x)=1+\sin x-x\cos x$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の$0\leqq x\leqq 2\pi$における増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．

(2)　$f(x)$の不定積分を求めよ．

(3)　次の定積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }|f(x)|dx}$

【３】　複素数平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を頂点とする$▵\mathrm{OAB}$がある．ただし，$\mathrm{O}$は原点とする．$▵\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{P}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$が表す複素数を，それぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{，}z$とするとき，

$\alpha \beta =z$

が成り立つとする．

(1)　複素数$\alpha$の満たすべき条件を求め，点$\mathrm{A}(\alpha )$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}(z)$の存在範囲を求め，複素数平面上に図示せよ．

【４】　さいころを続けて投げて，数直線上の点$\mathrm{P}$を移動させるゲームを行う．初め点$\mathrm{P}$は原点$0$にいる．さいころを投げるたびに，出た目の数だけ，点$\mathrm{P}$を現在の位置から正の向きに移動させる．この試行を続けて行い，点$\mathrm{P}$が$10$に達するか越えた時点でゲームを終了する．$n$回目の試行でゲームが終了する確率を$p_n$とする．

(1)　$p_{10}={\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^9$となることを示せ．

(2)　$p_9$の値を求めよ．

(3)　$p_3$の値を求めよ．

【５】　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(3,1)\text{，}\mathrm{C}(2,2)$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$の内部および境界を$T$とおく．実数$a$に対して，条件

${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2\leqq a$

を満たす座標平面上の点$\mathrm{P}$の全体を$D$とする．ただし，$\mathrm{AP}$は点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$の距離を表す．

(1)　$D$が少なくとも$1$つの点$\mathrm{P}$を含むような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$D$が$T$を含むような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　(1)のもとで，$D$が$T$に含まれるような$a$の値の範囲を求めよ．