2017　北海道大学　後期MathJax

【１】　$3$辺の長さが$5\text{，}6\text{，}7$の三角形を$T$とする．

(1)　$T$の面積を求めよ．

(2)　$T$を底面とする高さ$4$の直三角柱の内部に含まれる球の半径の最大値を求めよ．ただし，直三角柱とは，すべての側面が底面と垂直であるような三角柱である．

【２】　$n$を自然数とする．

(1)　二項定理を用いて${(z+z^{-1})}^{2n}$を展開せよ．ただし，$z$は$0$でない複素数とする．

(2)　$z=\cos \theta +i\sin \theta$とおき，(1)の展開式を用いて，等式

$\begin{array}{ll}{(2\cos \theta )}^{2n}& ={}_{2n}C_0\cos (2n\theta )+{}_{2n}C_1\cos (2(n-1)\theta )+\cdots \\ & \cdots +{}_{2n}C_k\cos (2(n-k)\theta )+\cdots {}_{2n}C_{2n}\cos (-2n\theta )\end{array}$

が成り立つことを示せ．ただし，$i$は虚数単位である．

(3)　次の等式を示せ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{(\cos \theta )}^{2n}d\theta ={\displaystyle \frac{(2n)!\pi }{2^{2n+1}{(n!)}^2}}$

【３】　実数$c$に対して，数列$\{a_n\}$を

$a_1=c\text{，}{a}_{n+1}=a_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left|a_n\right|+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

(1)　$c\geqq 0$とする．このとき，すべての$n$に対して$a_n\geqq 0$が成り立つことを示せ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$c<0$とする．このとき，すべての$n$に対して$a_n<0$が成り立つような実数$c$の値の範囲を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$が収束するような実数$c$の値の範囲を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を実数とし，放物線$y={(x-a)}^2+b$を$Q$とおく．また，直線$y=x-1$を$l$とおく．$Q$と$l$は共有点を持たないか，あるいは$1$点で接しているとする．

(1)　$a\text{，}b$の満たす条件を求めよ．

(2)　$Q$上の点のうち$l$までの距離が最小となるものを$\mathrm{A}$とおく．また，$Q$上の点$\mathrm{B}$における$Q$の接線は，点$\mathrm{C}$において$l$と垂直に交わっているとする．このとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$a\text{，}b$がさらに条件

$a\geqq 0\text{，}b\leqq 2\text{，}b\leqq 2a+1$

を満たすとき，(2)で求めた$3$点を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$の面積の最大値と最小値を求めよ．