2017　北海道教育大学　前期MathJax

【１】　$x\text{，}y$の$2$次式$P=2x^2+xy-y^2-2x+y$について，次の問いに答えよ．

(1)　$P$を因数分解せよ．

(2)　不等式$P>0$の表す領域を図示せよ．

(3)　方程式$P=3$を満たす整数$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n=-6n^2+1$で表されているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とするとき，公式

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)$

を証明せよ．

(2)　不等式$2^{a_n}>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{2^{2017}}}}$を満たす自然数$n$をすべて求めよ．

(3)　数列$\{2^{a_n}\}$の初項から第$n$項までの積を$b_n$とおく．このとき，$b_2$を求めよ．また数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　半径$1$の円に内接する$▵\mathrm{ABC}$において，$3$辺の長さの和を$L$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A\text{，}B\text{，}C$とする．

(1)　三角関数の加法定理を用いて，

$\sin A+\sin B=2\sin {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$C$の値は一定であるとする．$L$が最大となるのは$A=B$のときであることを示せ．

(3)　$A=B$とする．$t=\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}$とおくとき，$L^2$を$t$の式で表せ．また，$L^2$の最大値とそのときの$C$の値を求めよ．