2017　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　$n$は正の整数とする．点$(n,0)$を通り，曲線$C\text{：}y=e^{-x}$に接する直線を$L_n$とし，その接点を${\mathrm{P}}_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

問２　$L_n$と$L_{n+1}$の交点を${\mathrm{Q}}_n$とする．${\mathrm{Q}}_n$の座標を求めよ．

問３　$2$直線$L_n\text{，}{L}_{n+1}$および曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_n$とおくとき，級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の和を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．これらの解は次の$4$つの条件を満たす．

(ⅰ)　$\gamma =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

(ⅱ)　$\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=1$

(ⅲ)　$\alpha$の虚部は正である

(ⅳ)　複素数平面上の点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )\text{，}\mathrm{C}(\gamma )$は同一直線$L$上にある

このとき，次の問いに答えよ．

問１　$a\text{，}b\text{，}c$および$\alpha \text{，}\beta$の値を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}(z)$が直線$L$上を動くとき，$w_1={\displaystyle \frac{1+4z}{2z}}$で表される点$\mathrm{Q}(w_1)$の軌跡を複素数平面上に図示せよ．

問３　動点$\mathrm{R}(w_2)$は，$\arg \left({\displaystyle \frac{\beta -w_2}{\alpha -w_2}}\right)=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす．

　このとき，$\mathrm{R}(w_2)$の軌跡を複素数平面上に図示するとともに，問２で求めた$\mathrm{Q}(w_1)$との距離$|w_1-w_2|$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$がある．線分$\mathrm{AB}$の端点$\mathrm{A}$は$x$軸上の$x\geqq 0$の部分を，端点$\mathrm{B}$は$y$軸上の$y\geqq 0$の部分を動くものとする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　線分$\mathrm{AB}$が$x$軸となす角$\angle \mathrm{AOB}$が$\theta$であるとき，直線$\mathrm{AB}$を$L_{\theta }$で表す．直線$L_{\theta }$の方程式を求めよ．ただし，$0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．

問２　$t$は$0<t\leqq 1$を満たす定数とする．直線$x=t$と直線$L_{\theta }$との交点を${\mathrm{P}}_{\theta }$とする．点${\mathrm{P}}_{\theta }$の$y$座標が最大となる$\theta$を$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$を$t$を用いて表せ．

問３　点${\mathrm{P}}_{\alpha }$の直交座標$(x,y)$を$\alpha$を用いて表せ．また$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，点${\mathrm{P}}_{\alpha }$の極座標を求めよ．

問４　$\alpha$が$0\leqq \alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，点${\mathrm{P}}_{\alpha }$の描く曲線を$C$とする．$C$上の点${\mathrm{P}}_{\alpha }$における接線が$L_{\alpha }$であることを示し，$C$の概形を図示せよ．

【４】　ある駐車場には$4$つの駐車枠$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が，アルファベット順に$1$列に並んでいる．そして自動車は，$4$台が順に入場して，空いている枠に次の確率で駐車する．

(ⅰ)　$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$のうち先着の自動車が隣の枠に駐車している枠，および$\mathrm{D}$には，等しい確率で駐車する．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$に駐車する確率，および$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$のうち両隣が空いている枠に駐車する確率は，(ⅰ)の確率の$3$倍である．

このとき，次の確率を求めよ．ただし，$1$台目の自動車が入場するときには，$4$つの枠はすべて空いている．

問１　$1$台目の自動車が$\mathrm{A}$に駐車する確率

問２　$3$台目の自動車が入場したとき，$\mathrm{B}$と$\mathrm{D}$に自動車が駐車している確率

問３　$4$台目の自動車が入場したとき，$\mathrm{C}$に自動車が駐車していない確率