2017　北見工業大学　後期MathJax

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　$y=\log \left({\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2+3}}\right)$とすると，$y^{\prime }=\boxed{\text{(ⅰ)}}$．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　${\displaystyle {\int }_1^e}{x}^2\log xdx=\boxed{\text{(ⅱ)}}$．ただし，$e$は自然対数の底である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　$\overrightarrow{u}=(\cos t,\sin t,-1)\text{，}\overrightarrow{v}=(-3,-2,0)$とする．$0\leqq t\leqq 2\pi$の範囲で$t$の値が変化するとき，内積$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$の最大値は$\boxed{\text{(ⅲ)}}$であり，$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$のなす角の最小値は$\boxed{\text{(ⅳ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　$4$次関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$は，$2$点$(-1,-1)\text{，}(1,1)$で接しているとする．$f(x)$の$4$次の項の係数が$1$ならば，$f(x)=\boxed{\text{(ⅴ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　${(w+x+y+z)}^{10}$における$w^3{x}^2{y}^{4}z$の係数は$\boxed{\text{(ⅵ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　$\alpha =-1+\sqrt{3}i$とする．複素数平面上において，$2$点$0\text{，}\alpha$を頂点とする正三角形の第$3$の頂点を表す複素数で，実部が正のものは$\boxed{\text{(ⅶ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(7)　次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$-1\leqq x\leqq 0\text{．}1+x\leqq y\leqq \sqrt{1-x^2}$

この領域$D$を，$y$の関数$f(y)\text{，}g(y)$を用いて連立不等式

$0\leqq y\leqq 1\text{，}f(y)\leqq x\leqq g(y)$

で表したとき，$f(y)=\boxed{\text{(ⅷ)}}\text{，}g(y)=\boxed{\text{(ⅸ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(8)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{8}}=\boxed{\text{(ⅹ)}}$

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(9)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{n^2+2017n}-\sqrt{n^2-n})=\boxed{\text{(ⅺ)}}$

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(10)　「$x^3\geqq x$」は「$x^2\geqq 1$」であるための$\boxed{\text{(ⅻ)}}$．

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件だが必要条件ではない

(c)　必要条件だが十分条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　座標平面上において，$\mathrm{P}$を中心$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$半径$1$の円上の点で$y$座標が正のものとする．原点を$\mathrm{O}$とし，$\angle \mathrm{POA}=\theta$とおく．$\mathrm{Q}$は原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線上の点で，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OQ}$を$\mathrm{OP}:\mathrm{PQ}=1:\cos \theta$に内分しているとする．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$の式で表せ．

(3)　点$\mathrm{Q}$の座標を$(f(\theta ),g(\theta ))$とする．$f(\theta )$は区間$(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で減少することを示せ．

(4)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$\theta$の値が変化するとき，点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C$とする．$C$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

　なお，自然数$n$に対して$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^n\theta d\theta ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^n\theta d\theta$とするとき，

$\{\begin{array}{ll}n\text{が偶数のとき}& I_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{n-3}{n-2}}\cdot \cdots \cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\\ n\text{が奇数のとき}& I_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{n-3}{n-2}}\cdot \cdots \cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 1\end{array}$

となることを用いてよい．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とすると$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}}$が成り立つ．$p=\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$q=\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とおき，$▵\mathrm{OAB}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる実数$x\text{，}$$y$がある．$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるための必要十分条件を$x\text{，}$$y\text{，}$$p\text{，}$$q\text{，}$$\theta$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるための必要十分条件を$x\text{，}$$y\text{，}$$p\text{，}$$q\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$x\text{，}$$y$をそれぞれ$p\text{，}$$q\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　重心$\mathrm{G}$と垂心$\mathrm{H}$が一致しているとき$▵\mathrm{OAB}$はどのような三角形になるのかを求め，その理由を述べよ．

【４】　以下の文を読み，その中にある問に答えよ．

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　自然数とは$1$以上の整数を意味する．

例えば$6^2+2^2=4(1^2+3^2)$なので，$<6,2,1,3>$は$S(4)‐$組である．$8^2+9^2=5(2^2+5^2)$なので，$<8,9,2,5>$は$S(5)‐$組である．また，$S(13)‐$組の例としては$<7,9,1,3>$などがある．

いろいろな$k$の値に対して$S(k)‐$組が存在する一方で，$S(k)‐$組が存在しないような$k$の値もあるのである．ここでは次の定理を証明する．

この定理の証明のために，まず次の命題が成り立つことを証明しよう．

命題１の証明：$x$を$3$で割ったときの商を$p\text{，}$余りを$s$とする．$y$を$3$で割ったときの商を$q\text{，}$余りを$t$とする．$x=3p+s\text{，}y=3q+t$となっている．また，$s$と$t$はそれぞれ$0\text{，}1\text{，}2$のどれかである．

$\begin{array}{ll}{x}^2+y^2& ={(3p+s)}^2+{(3q+t)}^2\\ & =9p^2+6ps+s^2+9q^2+6qt+t^2\\ & =3(3p^2+2ps+3q^2+2qt)+s^2+t^2\end{array}$

である．$x^2+y^2$が$3$の倍数であり，

$x^2+y^2-3(3p^2+2ps+3q^2+2qt)=s^2+t^2$

となるので，$s^2+t^2$も$3$の倍数である．従って，$s=0\text{，}t=0$でなければならない．

以上から，$x$と$y$はともに$3$の倍数であることが証明された．[命題１の証明終り]

定理の証明：定理の証明を背理法で行う．すなわち，定理が成り立たないと仮定して矛盾が生じることを示す．

定理が成立しないと仮定しよう．定理が成立しないということは，ある$S(3)‐$組が少なくとも$1$つ存在することになる．

ここで，$S(3)‐$組$<a,b,c,d>$に対して，$a^2+b^2$の値を$S(3)‐$組$<a,b,c,d>$の左値と呼ぶことにする．定義から明らかに，左値の値は$2$以上の自然数である．

$S(3)‐$組はただ$1$つとは限らず，いろいろなものがあるかもしれないが，それらの中で，その左値が最も小さくなるようなものがあるはずである．このことは当然だとも言えるだろうが，ここではこれを厳密に証明してみよう．

命題２の証明：これも背理法で証明してみよう．

この命題２が成り立たないとすると，左値が最も小さくなるような$S(3)‐$組は存在しないことになる．ということは，$S(3)‐$組$<a,b,c,d>$があれば，この左値$a^2+b^2$の値は最小ではないので，必ずある別の$S(3)‐$組$<a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }>$があって，${a^{\prime }}^2+{b^{\prime }}^2<a^2+b^2$となる．このことから矛盾が生じてしまう．

以上から，$S(3)‐$組が存在するならば，そのような$<a,b,c,d>$全体の中で，$a^2+b^2$の値が最も小さくなるものが存在することが示された．[命題２の証明終わり]

左値が最も小さくなるような$S(3)‐$組はただ$1$つとは限らないが，そのようなものの$1$つを$<a_0,b_0,c_0,d_0>$とする．

${a_0}^2+{b_0}^2=3({c_0}^2+{d_0}^2)$(1)

が成り立っている．${a_0}^2+{b_0}^2$は$3$の倍数なので，命題１より，$a_0$と$b_0$も$3$の倍数である．従って，ある自然数$m\text{，}n$があって，$a_0=3m\text{，}{b}_0=3n$となっている．これを上の(1)に代入すると，

$9m^2+9n^2=3({c_0}^2+{d_0}^2)$

となるので，両辺を$3$で割ると，

${c_0}^2+{d_0}^2=3(m^2+n^2)$(2)

となる．これは，$<c_0,d_0,m,n>$が$S(3)‐$組であることを示している．${a_0}^2+{b_0}^2=3({c_0}^2+{d_0}^2)$であったので，これは，$<a_0,b_0,c_0,d_0>$が最小の左値を持つ$S(3)‐$組であることに矛盾する．

$S(3)‐$組が存在すると仮定して矛盾が生じたので，$S(3)‐$組は存在しないことになる．以上から，定理は証明された．[定理の証明終り]