2017　弘前大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式$6{({\log }_{2}x)}^3+13{({\log }_{2}x)}^2+4({\log }_{2}x)-3>0$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　数列$\{a_n\}$が次の条件で与えられているとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$を求めよ．

$a_1=4\text{，}{a}_{n+1}=a_n+18n+6\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$a$を定数とする．関数$y=\sqrt{x^2-2ax-2x+a^2+2a+1}$のグラフを$0\leqq x\leqq 1$の範囲でかけ．

【２】　座標空間の$8$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,1,0)\text{，}\mathrm{D}(0,0,1)\text{，}\mathrm{E}(1,0,1)\text{，}\mathrm{F}(1,1,1)\text{，}\mathrm{G}(0,1,1)$を頂点とする立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$を考える．この立方体の辺上に$3$点$\mathrm{H}({\displaystyle \frac{2}{3}},1,1)\text{，}\mathrm{I}(1,1,{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}\mathrm{J}(1,t,1)$をとる．三角形$\mathrm{HIJ}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{X}$としたとき，$\mathrm{OX}={\displaystyle \frac{21}{25}}\sqrt{3}$となる$t$の値を求めよ．

【３】　座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1)\text{，}\mathrm{C}(0,1)$をとる．$a>0$とし，正方形$\mathrm{OABC}$を放物線$y=a^2{x}^2$で分割してできる$2$つの図形のうち，点$\mathrm{C}$を含む図形の面積を$S_1\text{，}$点$\mathrm{A}$を含む図形の面積を$S_2$とする．

(1)　$S_1$を$a$の式で表し，$a$の関数として$S_1$のグラフをかけ．

(2)　$S_1$と$S_2$のうち小さい方の面積と大きい方の面積の比が$1:3$となる$a$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　次の関数を微分せよ．

$\log {\displaystyle \frac{\cos x}{1-\sin x}}$

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　$a$を定数とする．次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ．

${\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=a$

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^2}x\log (x+2)dx$

【５】　次の問いに答えよ．

(2)　曲線$y=x^4-x^2$と$x$軸で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【６】　円$x^2+y^2=5$を$C$とする．$C$上の点$(2,1)\text{，}(2,-1)$をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$C$上にない任意の点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{PA}$を引き，$\mathrm{PA}$と$C$の共有点が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{Q}$であるとする．ただし$\mathrm{PA}$が$C$に接するときは$\mathrm{Q}$は$\mathrm{A}$に一致するものとする．同様に直線$\mathrm{PB}$と$C$の共有点が$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{R}$であるとする．

(1)　点$\mathrm{P}$が$C$の外部にあり線分$\mathrm{QR}$が$C$の直径であるとき，$\mathrm{P}$の位置によらず$\angle \mathrm{APB}$の大きさは一定であることを示せ．

(2)　線分$\mathrm{QR}$が$C$の直径であるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【７】　多項式$x^3+3x^2+2x+7$を割り切り，かつすべての項の係数が正の実数であるような$2$次式は存在するか．

【８】　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$はそれぞれ複素数$2+3i\text{，}3+8i\text{，}-15+22i$を表すとする．複素数平面上の三角形$\mathrm{ADE}$は三角形$\mathrm{ABC}$に合同（$▵\mathrm{ADE}\equiv ▵\mathrm{ABC}$）であり，点$\mathrm{D}$は線分$\mathrm{AC}$上にあるとする．$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$を表す複素数を求めよ．

【９】　$1$つのさいころをまず$2$回投げる．$2$回目に出た目が$1$回目に出た目より大きければもう$1$回投げる．そして$3$回目に出た目が$2$回目に出た目より大きければさらにもう$1$回投げる．以後同様に続けて，投げて出た目が直前の回に出た目よりおおきければもう$1$回投げ，大きくなければ投げるのをやめる．投げるのをやめるまでに$6$の目が出る確率を求めよ．