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2017 岩手大学 前期

人文,教育,農学部共通

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 掲載せず

2017 岩手大学 前期

人文,教育,農学部共通

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(2) 自然数 a b a +2b =126 をみたす. a b の最大公約数が 9 のとき,このような a b をすべて求めよ.

2017 岩手大学 前期

人文,教育,農学部共通

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(3) 数列 { an } が, a1 =1 2 an +1 =an +2 n=1 2 3 をみたすとき,この数列の一般項を求めよ.

2017 岩手大学 前期

人文,教育,農学部共通

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上で原点を O とし, 3 A= (-2 ,1) B =(3 ,-4 ) C =(7 ,-1 ) をとり, a =OA b = OB c =OC とおく.また,線分 AB t :(1 -t) に内分する点を P 線分 BC t :(1 -t ) に内分する点を Q 線分 PQ t :(1 -t) に内分する点を R とする.ただし 0 <t<1 とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  OR a b c を用いて表せ.

(2) 点 R の座標を t を用いて表せ.

(3)  BC OR が垂直になる t の値を求めよ.

2017 岩手大学 前期

人文,教育,農学部共通

易□ 並□ 難□

【3】 袋の中に, 4 個の玉が入っている.それらの玉には,整数が 1 つずつ書かれている.それら 4 つの整数はすべて異なるものとし, 4 つの中で一番大きい整数を a とする.袋から玉を 1 個取り出す試行を,下記の A B C いずれかの方針で繰り返すとき(玉は袋に戻さない),最後の試行で取った玉に書かれた整数が a である確率を求めたい.ただし,玉を取り出す人は, 4 つの整数が何かは知らされていないものとする.

方針 A 1 回目の試行でやめず, 2 回目を最後の試行とする.

方針 B 1 回目の試行でやめず, 2 回目の整数が 1 回目より大きければ 2 回目を最後の試行とする.もし小さければ 3 回目を行い, 1 回目, 2 回目の整数より大きければ 3 回目を最後の試行とする.もし小さければ 4 回目を最後の試行とする.

方針 C 1 回目, 2 回目の試行でやめず, 3 回目の整数が 1 回目, 2 回目より大きければ 3 回目を最後の試行とし,小さければ 4 回目を最後の試行とする.

 次の問いに答えよ.

(1) 方針 A を採用したとき,最後の試行で取った玉に書かれた整数が a である確率を求めよ.

(2) 方針 B を採用したとき,最後の試行で取った玉に書かれた整数が a である確率を求めよ.

(3) 方針 C を採用したとき,最後の試行で取った玉に書かれた整数が a である確率を求めよ.

2017 岩手大学 前期

人文,教育,農学部共通

教育学部は【5】との選択

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【4】 放物線 C y=2 x-x 2 と直線 l y=a x について,定数 a 0 <a<2 の範囲にあるとき,次の問いに答えよ.

(1) 放物線 C と直線 l で囲まれた部分の面積を a を用いて表せ.

(2) 直線 l が,放物線 C x 軸とで囲まれた部分の面積を二等分するときの a の値を求めよ.

2017 岩手大学 前期

教育学部

【4】との選択

理工学部【5】の類題

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【5】 実数 t に対して, f( t)= 0at ( ex+ e-x ) dx とおく.ただし a f (1 )=2 をみたす定数とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  a の値を求めよ.

(2)  f( 2) および f ( 3) の値を求めよ.

(3)  n が正の奇数ならば, f( n) は正の偶数であることを示せ.

(4)  m が正の偶数のとき, f( t) t =m における微分係数 f ( m) a で割れば正の偶数になることを示せ.

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理工学部

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【1】 次の問いに答えよ.

(1) 方程式 22x +1+ 52 x-3 =0 を解け.

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理工学部

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【1】 次の問いに答えよ.

(2)  x<0 の範囲において,次の関数の増減を調べ,極値を求めよ.

y=| x| 2-x 2

2017 岩手大学 前期

理工学部

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【1】 次の問いに答えよ.

(3)  limx 0 (1 +x) 1x =e であることを用いて,次の極限値を求めよ.ただし,対数は自然対数とする.

limx 0 tanx -sinx x4 { log( x2+ x3) -logx 2}

2017 岩手大学 前期

理工学部

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【2】 座標空間に 4 A ( 0,1, 0) B ( 3,2 ,0) C ( 3,2, 1) D (- 1,1+ 3,0 ) がある.線分 DC t :(1 -t) に内分する点を P とする(ただし, 0<t <1 ).次の問いに答えよ.

(1) 内積 AB AC AB AD および AC AD をそれぞれ求めよ.

(2)  3 A B C が定める平面上に点 H を, PH AB AC の両方と垂直になるようにとる. AH =u AB +v AC と表すときの実数 u v を求めよ.

(3) 点 P を中心とする半径 r の球が, 3 A B C が定める平面に接するように点 P を定める.このときの t の値を r で表せ(ただし, r<2 ).

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理工学部

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【3】 座標平面上に 2 A B を以下のようにとる.

x 軸の正の部分を始線とし,

θ の動径と原点 O を中心とする半径 2 の円との交点を A とし,

2 θ の動径と原点 O を中心とする半径 1 の円との交点を B とする.

 さらに, A に最も近い x 軸上の点を P とし, B に最も近い x 軸上の点を Q とする.ただし, A x 軸上にあるときは A 自身を P とし, B x 軸上にあるときは B 自身を Q とする.次の問いに答えよ.

(1)  0<θ <π の範囲で三角形 OAB の面積と辺 AB の長さを θ で表せ.

(2)  0θ π の範囲で線分 PQ の長さを θ で表せ.

(3)  0θ π2 の範囲で線分 PQ の長さの最大値と,その時の θ の値を求めよ.

(4)  0θ π の範囲で線分 PQ の長さが 54 となるときの cos θ の値を求めよ.

2017 岩手大学 前期

理工学部

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【4】  x0 の範囲で, 2 つの関数

f( x)= xx g (x) =x ex- 1

を考える.次の問いに答えよ.

(1)  a を正の定数とするとき,定積分 0a f (x )d x を求めよ.

(2)  1x 3 における曲線 y =f( x) の長さを求めよ.

(3) 不等式 f (x )g (x ) が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つときの x の値を求めよ.

(4)  2 曲線 y =f( x) y =g( x) で囲まれた図形の面積を求めよ.

2017 岩手大学 前期

理工学部

教育学部【5】の類題

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【5】  0a (e x+e -x )d x=2 を満たすように定数 a をとり,関数 f (t )

f( t)= 0at ( ex+ e-x ) dx

とおく.次の問いに答えよ.

(1)  a の値を求めよ.

(2)  f( 2) および f ( 3) の値を求めよ.

(3) 正の整数 n に対し, n が奇数ならば f (n ) は整数になることを示せ.

2017 岩手大学 前期

農学部

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【5】 実数 x について, A=x 4+4 x3 +4 x2+ 5 B =x2 +2 x+2 とおくとき,次の問いに答えよ.

(1) 整式 A を整式 B で割った商と余りを求めよ.

(2)  A B 2 次式で表せ.

(3) 設問(2)で求めた式を用いて, AB の最小値と,そのときの x の値を求めよ.

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