2017　岩手大学　後期理工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次のように定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_1=5\text{，}{a}_{n+1}=a_n+6^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　平面ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2,8)\text{，}$$\overrightarrow{c}=(x,y)$がある．$\overrightarrow{c}$は$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$に平行で，$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{53}$である．このとき$x\text{，}y$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，関数$y={\sin }^2\theta -\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+2$の最大値と最小値を求め，それぞれのときの$\theta$の値も求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{e^2}}{(\log x)}^{2}dx$を求めよ．

【２】　座標平面上の曲線$C$を，媒介変数$\theta$を用いて$x=4\cos \theta \text{，}y={\displaystyle \frac{1}{4}}\sin \theta$で定める$(\text{ただし，}0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{．}C$上に点$\mathrm{P}$をとり$(\text{ただし，}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とする．$l$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のときの接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　${\sin }^2\theta =t$とおくとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$t$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{QR}$の長さが最小になるときの，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ．

(4)　$x$軸，$y$軸および曲線$C$とで囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．