2017　東北大学　前期MathJax

【１】　$s$を正の実数とする．鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$s:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{BC}$を$s:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{CD}$と線分$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．

(2)　$\mathrm{F}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{FG}$とする．$\mathrm{FG}$の長さが最大となるときの$s$を求めよ．

【２】　$p\text{，}q$を実数とする．関数$f(x)=x^2+px+q$の$-1\leqq x\leqq 2$における最小値が$0$以上となる点$(p,q)$全体からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$pq$平面上に領域$D$を図示せよ．

(2)　$D$の点$(p,q)$で$q\leqq 5$を満たすものの全体のなす図形の面積を求めよ．

【３】　$a$を$3$で割り切れない正の整数とする．$a$を$3$で割ったときの商を$b\text{，}$余りを$c$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$c=2$のとき，$2a+1=as+3t$を満たす負でない整数$s\text{，}t$を$b$を用いて表せ．

(2)　$n$を$n\geqq 2a-2$を満たす整数とする．このとき$n=as+3t$を満たす負でない整数$s\text{，}t$が存在することを示せ．

【４】　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君はそれぞれ，$0$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードが入った箱を$1$つもっている．$2$人は，自分の箱の中から無作為に$3$枚のカードを取り出して得点を競うゲームをする．取り出された$3$枚のカードに$0$が含まれていない場合の得点は$3$枚のカードに書かれた数の平均値とし，$0$が含まれている場合は残り$2$枚のカードに書かれた数の合計とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君の少なくとも一方が$0$を取り出して，しかも双方とも得点が$3$点となる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$君の得点が整数でなく，かつ$\mathrm{B}$君の得点より大きい確率を求めよ．

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．$y=|x^2-4|$で表される曲線を$C$とし，$y=ax+b$で表される直線を$l$とする．

(1)　$l$が点$(-2,0)$を通り，$l$と$C$がちょうど$3$つの共有点をもつような$a\text{，}b$の条件を求めよ．

(2)　$l$と$C$がちょうど$3$つの共有点をもつような点$(a,b)$の軌跡を$ab$平面上に図示せよ．

【２】　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君はそれぞれ，$0$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードが入った箱を$1$つもっている．$2$人は，自分の箱の中から無作為に$3$枚のカードを取り出して得点を競うゲームをする．取り出された$3$枚のカードに$0$が含まれていない場合の得点は$3$枚のカードに書かれた数の平均値とし，$0$が含まれている場合は残り$2$枚のカードに書かれた数の合計とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君の少なくとも一方が$0$を取り出して，しかも双方とも得点が$3$点となる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$君の得点が$\mathrm{B}$君の得点より大きいときの，$\mathrm{A}$君の得点が整数ではない確率を求めよ，

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を$1$以上$7$以下の互いに異なる整数とする．

(1)　$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$が有理数解をもつような組$(a,b,c)$の総数を求めよ．

(2)　$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$が少なくとも一つの整数解をもつような組$(a,b,c)$の総数を求めよ．

【５】　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を複素数とし，

$z\bar{z}+\alpha z+\beta \bar{z}+\gamma =1\cdots \text{(＊)}$

を満たす複素数$z$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$z$は

$(\alpha -\bar{\beta })z-(\bar{\alpha }-\beta )\bar{z}+\gamma -\bar{\gamma }=0$

を満たすことを示せ．

(2)　$\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|\ne 0$と仮定し，また$\gamma$は負の実数であると仮定する．このとき，(＊)を満たす$z$がちょうど$2$個あるための必要十分条件を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

【６】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，

$I(a,b)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{ax}\cos bxdx\text{，}$$J(a,b,c)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{ax}\sin bx\sin cxdx$

とおく．ただし，$a\ne 0$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$I(a,b)$を求めよ．

(2)　$J(a,b,c)$を$I(a,b+c)$と$I(a,b-c)$を用いて表せ．

(3)　次の極限を求めよ．

$\underset{t\to \infty }{\lim }8{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^x\sin tx\sin 2tx\cos 3tx\cos 4txdx$

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部