2017　東北大学　後期MathJax

(1)　$(p,q)=(\cos \theta ,\sin \theta )\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$と表すとき，$a$と$b$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　放物線$D$の$x=1$における接線が円$C$の周を$2$等分するような$a\text{，}b$の組$(a,b)$をすべて求めよ．

(3)　放物線$D$の接線で円$C$の周を$2$等分することを考える．そのような接線がただ$1$つ存在するような$a\text{，}b$の組$(a,b)$をすべて求めよ．

$z^3=\bar{z}+a\cdots \text{(＊)}$

を考える．ここで$i$は虚数単位を表す．

(1)　$a=0$のとき，(＊)を満たす$z$をすべて求めよ．

(2)　(＊)を満たす$z$がちょうど$5$個存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

(1)　$p(n,k)$を求めよ．

(2)　$n$が$3$の倍数で$6$以上とする．$n$を固定して$k$を$3\leqq k<n$の範囲で動かすとき，$p(n,k)$の最大値とそのときの$k$を求めよ．

(1)　$2x+2y+z=n$を満たす負でない整数$x\text{，}y\text{，}z$の組の総数を，$n=4$と$n=5$のそれぞれの場合に求めよ．

(2)　$2x+2y+z=n$を満たす負でない整数$x\text{，}y\text{，}z$の組の総数を，$n$を用いて表せ．

(3)　$2x+2y+z\leqq n$を満たす負でない整数$x\text{，}y\text{，}z$の組の総数を，$n$を用いて表せ．

$F(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x+1}{(at+b)}^{\frac{1}{3}}dt}$

関数$F(x)$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(1)　$x=\cos \theta +\sin \theta$とおくとき，$f(\theta )$を$x$を用いて表せ．

(2)　$f(\theta )$の最大値，最小値を求めよ．

(ⅰ)　時刻$0$において$\mathrm{M}$は頂点$\mathrm{A}$の上にある．

(ⅱ)　各辺上での$\mathrm{M}$の速さは$1$である．ただし，辺の途中で後戻りしない．

(ⅲ)　各頂点において$\mathrm{M}$はとどまらず，その頂点を端点とする$3$本の辺の中から確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$1$つを選んで次の頂点まで移動し続ける．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　時刻$4\text{，}5$において$\mathrm{M}$が頂点$\mathrm{A}$の上にある確率をそれぞれ求めよ．

(2)　時刻$n$において$\mathrm{M}$が頂点$\mathrm{A}$の上にある確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は負でない整数とする．

(3)　時刻$8$において$\mathrm{M}$が頂点$\mathrm{A}$の上にあるとき，その時刻までに$\mathrm{M}$が立方体のすべての頂点を通る条件付き確率を求めよ．

$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}},b,c)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,1)$

をとる．ここで$b\text{，}$$c$は$bc<0$を満たす実数とする．原点$\mathrm{O}$を通り，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に垂直な平面を$\alpha$とする．$\mathrm{B}$および$\mathrm{C}$から$\alpha$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{CE}$とおく．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OE}}$と，大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OE}}\right|$をそれぞれ$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$のなす角を$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とする．$\cos \theta$の最大値と，最大値を与える点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．