2017　宮城教育大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　方程式$8x^4-8x^2+x+1=0$を解け．

(2)　$\cos 4\theta$を$\cos \theta$を用いて表せ．

(3)　$\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$であることを示し，$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$の値を求めよ．

【２】　直方体$\mathrm{OADB}‐\mathrm{CEGF}$について，

$\mathrm{OA}=2\sqrt{5}\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{5}\text{，}\mathrm{OC}=2\sqrt{11}$

である．$▵\mathrm{DEF}$の内心を$\mathrm{P}$として，

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$が平面$\mathrm{DEF}$に垂直であるとき，$s$と$t$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$を通り平面$\mathrm{DEF}$に垂直な直線と平面$\mathrm{EFG}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，長さ$\mathrm{PQ}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{9}{16}}x$の導関数を$f^{\prime }(x)$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．

(2)　$a$を正の定数とするとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^a}|f^{\prime }(x)|dx$を$a$を用いて表せ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\log 5}{\log 7}}$は無理数であることを示せ．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　${32}^x\cdot {128}^y=8$となる整数$x\text{，}y$の組で$|x-y|$が最小となるものは$1$組であり，$x=2\text{，}y=-1$であることを示せ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_1\}$を

により定義する．$x_n=a_n+b_{n}i$（$i$は虚数単位）および$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$とおいて，次の問に答えよ．

(1)　$a_n>0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(2)　$z_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{z_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$および$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}}$であることを示せ．

(3)　$\{z_{n+1}-\alpha |={\displaystyle \frac{\alpha |z_n-\alpha |}{|z_n+1|}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(4)　$|z_n-\alpha |\leqq {\alpha }^{n-1}|z_1-\alpha |\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x-2}{x^2-6x+10}}$

について，増減，極値および極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{n\to -\infty }{\lim }f(x)$を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$k$を定数とする．曲線$y={\displaystyle \frac{4x-10}{x^2-6x+10}}$と直線$y=kx-1$の共有点の個数を調べよ．

【５】　$f(x)=\log x\text{，}g(x)=e^{x-2}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$(a,\log a)$における接線の方程式と，曲線$y=g(x)$上の点$(b,e^{b-2})$における接線の方程式を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の両方に接する直線が$2$本あることを示し，それらの方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた$2$直線と曲線$y=f(x)$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$a$を定数として，$f(x)=x^2-ax-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$と$x$軸との共有点のうち，その$x$座標が$0$以上のものを$\mathrm{A}$とおく．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$a>0$のとき，(1)で求めた接線と曲線$y=f(x)$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　$a>0$のとき，連立不等式

$y\leqq -2x^2\text{，}y\geqq f(x)\text{，}x\geqq 0$

の表す領域を$D$とする．$D$の面積を求めよ．