2017　秋田大学　前期MathJax

【１】　文字$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{J}$のどれか$1$つが書かれている$10$種類の玉があり，以下のように$10$個の玉が入っている袋を$3$種類用意する．

・$10$種類の玉が全て入っている袋$\alpha$

・$\mathrm{A}$が書かれている玉が$3$つ，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$が書かれている玉が$1$つずつ入っている袋$\beta$

・$\mathrm{A}$が書かれている玉が$5$つ，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$が書かれている玉が$1$つずつ入っている袋$\gamma$

　この$3$種類の袋に対して，袋から玉を$1$個取り出し，書かれている文字を調べてから同じ袋に戻す試行を行う．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　この試行を$2$回繰り返したとき，$1$回目と$2$回目で取り出した玉に書かれている文字が異なる確率を，袋$\alpha \text{，}$袋$\beta \text{，}$袋$\gamma$についてそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　この試行を$3$回繰り返したとき，$3$回目で取り出した玉に書かれている文字が，$1$回目または$2$回目で取り出した玉に書かれている文字と同じである確率を，袋$\alpha \text{，}$袋$\beta \text{，}$袋$\gamma$についてそれぞれ求めよ．

【２】　$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円がある．単位円上に点$\mathrm{A}$をとり，半径$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の部分となす角を$\theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とする．さらに単位円上に点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を，反時計回りに点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の順に並ぶようにとる．$\angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}\angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$について，それぞれの座標を$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$x$座標の和が$0$となるときの$\theta$に対し，$\tan \theta$を求めよ．

(ⅲ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$x$座標の和の平方と，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$y$座標の和の平方との和を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を頂点とし，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{OABCD}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<s<1\text{，}0<t<1$とする．$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{D}$が同一平面上にあるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{RP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{RD}}$をそれぞれ表せ．

(ⅱ)　$t$を用いて$s$を表せ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積が$▵\mathrm{OAC}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{6}}$となるとき，$s$の値を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上にある放物線$C\text{：}y=a{x}^2\text{（}a>0\text{）}$上に点$\mathrm{P}$をとり，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{OP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$が原点にあるとき，点$\mathrm{Q}$は原点とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$y$座標が$100$となる点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$が放物線$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を表す方程式を求め，図示せよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$x_1\text{（}{x}_1>0\text{）}$とし，対応する点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_2$とする．放物線$C$と直線$x=x_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，(ⅱ)で求めた点$\mathrm{Q}$の軌跡と直線$x=x_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1:S_2$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．

(ⅱ)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+3}}}dx$を求めよ．

(ⅲ)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10n^2+6nk+k^2}}}$の値を求めよ．

【６】　定数$a$に対し，$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{1-{(x-a)}^2}{1+{(x-a)}^2}}$とする．関数$f(x)$と関数$g(x)$が同じ$x=t$で極大になるとする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$の値と$t$の値を求めよ．

(ⅱ)　関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフのすべての共有点の座標を求めよ．

(ⅲ)　$x\geqq 0$において，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【７】　$n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$8^n$を$11$で割った余りが$3$となる$n$をすべて求めよ．

(ⅱ)　${11}^n$を$17$で割った余りが$4$となる$n$をすべて求めよ．

(ⅲ)　(ⅰ)の条件と(ⅱ)の条件を同時に満たす$n$をすべて求めよ．

【８】　$xyz$空間に中心が点$(0,0,1)\text{，}$半径が$1$の球面$S$がある．球面$S$上の点$\mathrm{N}(0,0,2)$と$xy$平面上にある点$\mathrm{P}(a,b,0)$を結ぶ線分$\mathrm{NP}$が点$\mathrm{N}$と異なる点$\mathrm{Q}$で球面$S$と交わる．さらに$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},0)$をとる．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a\text{，}b$を用いて点$\mathrm{Q}$の座標を表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AB}$上を動くとする．線分$\mathrm{NQ}$の長さの最大値とそのときの点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上を動くとき，線分$\mathrm{QP}$の長さは(ⅱ)で求めた点$\mathrm{P}$で最小になることを示せ．

志望別問題選択一覧

国際資源学部　【３】，【４】，【５】

教育文化（理数教育コース除く）学部　【１】，【２】，【３】

教育文化（理数教育コース）学部　【２】，【３】，【６】

医学部 　【６】，【７】，【８】

理工学部　【２】，【３】，【６】