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2017-10121-0101
2017 山形大学 前期
人文社会科(人文社会科学科),理(数学分野),医(医学科),農(食料生命環境学科)学部
易□ 並□ 難□
【1】 大中小 3 個のさいころを同時に投げる.出る目の和を S で表すとき,次の問に答えよ.
(1) 出る目の数の最小値が 2 になる確率を求めよ.
(2) S=4 または S =17 になる確率を求めよ.
(3) 5≦S ≦16 になる確率を求めよ.
(4) 大中小それぞれのさいころの出る目を a , b ,c とする.座標平面上の 3 点 A ( a,0 ), B (- b,0) ,C (0 ,c2 ) に対し, ▵ABC の面積を T とするとき, T≦9 になる確率を求めよ.
2017-10121-0102
人文社会科(人文社会科学科),農(食料生命環境学科)学部
【2】 関数 f ⁡(x )=- 2⁢x 2+3 ⁢x+6 ⁢| x| について,次の問に答えよ.
(1) f⁡( x) の最大値を求めよ.
(2) t>0 とする.曲線 y =f⁡( x) 上の点 A ( t,f⁡ (t )) における接線 L の方程式を t を用いて表せ.
(3) 曲線 y =f⁡( x) の x <0 の部分と直線 L が点 B において接するとする.このとき, A , B の座標と L の方程式を求めよ.
(4) (3)の直線 L と曲線 y =f⁡( x) で囲まれた図形の面積を求めよ.
2017-10121-0103
【3】 ▵ABC において, AB=6 , BC=5 , CA=4 とする.辺 BC の垂直二等分線と辺 CA の垂直二等分線との交点を D , ∠ C の二等分線と辺 AB との交点を E とする.また, CA→ =a→ , CB→ =b→ とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 内積 a →⋅ b→ を求めよ.
(2) CE→ を a → と b → で表せ.また, |CE → | を求めよ.
(3) CD→ を a→ と b → で表せ.また,内積 CD→ ⋅CE→ を求めよ.
(4) 点 D から線分 CE に下ろした垂線と線分 CE との交点を P とする. CP→ を a → と b → で表せ.
2017-10121-0104
理(数学分野),農(食料生命環境学科)学部
【4】 次の各問に答えよ.
(1) 数列 { an } が a n= ∑k =1n 21 -k と表されるとき,和 ∑n= 1m an を求めよ.
(2) 初項から第 n 項までの和 S n が S n=- n3+6 ⁢n2 +25⁢n と表される数列 { bn } に対し, bn >0 となるすべての b n の和を求めよ.
(3) 数列 { cn } が
c1 =2 ,c n+1 =3⁢c n+ 4n+ 23 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
で定められているとき,次の(ⅰ),(ⅱ)に答えよ.
(ⅰ) dn = 14n ⁢( cn+ 13 ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) とする.このとき, dn+ 1 と d n の関係式を求めよ.また,数列 { dn } の一般項を求めよ.
(ⅱ) 数列 { cn } の一般項を求めよ.
2017-10121-0105
理(数学分野),医(医学科)学部
【5】 関数 y =x2 +1 のグラフを C とする. p>0 とし,点 P ( p,p 2+1 ) における曲線 C の接線を L , x 軸と直線 L との交点を点 A ( a,0 ) とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 直線 L の方程式と点 A の x 座標 a を p を用いて表せ.
(2) 曲線 C と直線 L および y 軸で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を p を用いて表せ.
(3) 関数 f ⁡(x )=x ⁢x2 +1+ log⁡( x+x 2+1 ) を微分せよ.
(4) p=2 のとき,直線 x =a と曲線 C および直線 L で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
2017-10121-0106
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
医(医学科)学部
【6】 方程式 ( z-i) 4=- 12 + 32 ⁢ i の解を,虚部の大きい方から順に z1 ,z 2 ,z 3 ,z4 とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 複素数 z1 ,z 2 ,z 3 ,z4 を求めよ.
(2) 複素数 { (3- 3) ⁢ z1 z2 }10 を求めよ.
(3) 実数 s に対して, |z3 -s| | z2-s | が最大になる s の値を求めよ.
2017-10121-0107
理(物理分野)学部
【1】問1 次の関数
y=2⁢ x+cos⁡ ( π3⁢ x )
において x =1 ,2 , 3 ,4 , 5 ,6 であるときの y をそれぞれ求めよ.
以下の問いで, 1 ,2 , 3 ,4 , 5 ,6 を各々 x1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x6 と表記し,それぞれの x に対する y の値を y1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 ,y 5 ,y6 と書く.
問2 次のような a の関数 b を考える.
b=e - 12⁢ ( ax2 -y2 )2
この関数のグラフの概形をかけ.
問3 次の S の値を最大にする a の値を求めよ.
S =e -12 ⁢( a⁢x1 -y1 )2 ×e -12 ⁢( a⁢x2 -y2 )2 ×e -12 ⁢( a⁢x3 -y3 )2 ×e -12 ⁢( a⁢x4 -y4 )2 ×e -12 ⁢( a⁢x5 -y5 )2 ×e -12 ⁢( a⁢x6 -y6 )2
ここで右辺のかけ算は 2 行にわたっている.
2017-10121-0108
【2】 変数 t を媒介変数として以下のように表される曲線 C を考える.
x=t- sin⁡t ,y= 1-cos⁡ t ( 0≦t≦ 2⁢π )
以下の問いに答えよ.
問1 d ydx を t の関数として表せ.
問2 曲線 C の概形をかけ.
問3 曲線 C と x 軸に囲まれる領域の面積を求めよ.
問4 次の不定積分を求めよ.
∫ x2⁢ sin⁡x⁢ dx
問5 次の不定積分を求めよ.
∫ 2⁢x ⁢sin2 ⁡x⁢d x
問6 曲線 C , y 軸,および直線 y =2 に囲まれた領域を y 軸のまわりに 1 回転させて得られる立体の体積を求めよ.
2017-10121-0109
工学部
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 不等式 3⁢sin ⁡x+cos ⁡x>2 を解け.ただし, 0≦x <2⁢π とする.
2017-10121-0110
(2) AB:BC: CA=3: 4:5 を満たす面積 1 の ▵ ABC に対して,内接円の半径を求めよ.
2017-10121-0111
(3) 極方程式で表された直線 l :r= 2 ⁢asin ⁡θ-cos ⁡θ と円 C :r=2 ⁢cos⁡θ が接している.定数 a の値を求めよ.ただし, a>0 とする.
2017-10121-0112
【2】 関数 f ⁡(x )= x4-1 x ( x≧1 ) について,次の問いに答えよ.
(1) x>1 のとき,導関数 f ′⁡( x) を求め, f′⁡ (x )>0 を示せ.
(2) x>1 のとき, x-f⁡ (x) =1 x⁢( x2+ x4- 1) を示せ.
(3) limx →1+0 f′⁡ (x ) および limx→ ∞{ x-f⁡ (x) } を求めよ.
(4) 曲線 y =f⁡( x) の概形をかけ.
(5) 曲線 y =f⁡( x) , 直線 x =a および x 軸で囲まれる部分を x 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.ただし, a>1 とする.
2017-10121-0113
【3】 1 辺の長さが 3 の正四面体 ABCD において,辺 CD を 1 :2 に内分する点を E とし,点 D から ▵ EAB に垂線 DH を下ろす.次の問いに答えよ.
(1) 線分 AE の長さを求めよ.
(2) ▵EAB の面積 S を求めよ.
(3) 正四面体 ABCD の体積 V を求めよ.
(4) 線分 DH の長さを求めよ.
2017-10121-0114
【4】 数列 { an } を
a1= 2 ,a n+1 =3⁢ an+ 2⁢n- 3-4⋅ (- 1)n ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ )
で定義するとき,次の問いに答えよ.
(1) bn= an+ p⁢n+q +( -1) n⁢r とおく.数列 { bn } が bn+1 =3⁢ bn ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) を満たすように,定数 p , q ,r の値を求めよ.
(2) (1)の結果を用いて,数列 { an } の一般項を求めよ.
(3) ∑ k=1 na k を n の式で表せ.