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2017 山形大学 前期

人文社会科(人文社会科学科),理(数学分野),医(医学科),農(食料生命環境学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】 大中小 3 個のさいころを同時に投げる.出る目の和を S で表すとき,次の問に答えよ.

(1) 出る目の数の最小値が 2 になる確率を求めよ.

(2)  S=4 または S =17 になる確率を求めよ.

(3)  5S 16 になる確率を求めよ.

(4) 大中小それぞれのさいころの出る目を a b c とする.座標平面上の 3 A ( a,0 ) B (- b,0) C (0 ,c2 ) に対し, ABC の面積を T とするとき, T9 になる確率を求めよ.

2017 山形大学 前期

人文社会科(人文社会科学科),農(食料生命環境学科)学部

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )=- 2x 2+3 x+6 | x| について,次の問に答えよ.

(1)  f( x) の最大値を求めよ.

(2)  t>0 とする.曲線 y =f( x) 上の点 A ( t,f (t )) における接線 L の方程式を t を用いて表せ.

(3) 曲線 y =f( x) x <0 の部分と直線 L が点 B において接するとする.このとき, A B の座標と L の方程式を求めよ.

(4) (3)の直線 L と曲線 y =f( x) で囲まれた図形の面積を求めよ.

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人文社会科(人文社会科学科),理(数学分野),医(医学科),農(食料生命環境学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において, AB=6 BC=5 CA=4 とする.辺 BC の垂直二等分線と辺 CA の垂直二等分線との交点を D C の二等分線と辺 AB との交点を E とする.また, CA =a CB =b とする.このとき,次の問に答えよ.

(1) 内積 a b を求めよ.

(2)  CE a b で表せ.また, |CE | を求めよ.

(3)  CD a b で表せ.また,内積 CD CE を求めよ.

(4) 点 D から線分 CE に下ろした垂線と線分 CE との交点を P とする. CP a b で表せ.

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理(数学分野),農(食料生命環境学科)学部

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【4】 次の各問に答えよ.

(1) 数列 { an } a n= k =1n 21 -k と表されるとき,和 n= 1m an を求めよ.

(2) 初項から第 n 項までの和 S n S n=- n3+6 n2 +25n と表される数列 { bn } に対し, bn >0 となるすべての b n の和を求めよ.

(3) 数列 { cn }

c1 =2 c n+1 =3c n+ 4n+ 23 n=1 2 3

で定められているとき,次の(ⅰ),(ⅱ)に答えよ.

(ⅰ)  dn = 14n ( cn+ 13 ) n=1 2 3 とする.このとき, dn+ 1 d n の関係式を求めよ.また,数列 { dn } の一般項を求めよ.

(ⅱ) 数列 { cn } の一般項を求めよ.

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理(数学分野),医(医学科)学部

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【5】 関数 y =x2 +1 のグラフを C とする. p>0 とし,点 P ( p,p 2+1 ) における曲線 C の接線を L x 軸と直線 L との交点を点 A ( a,0 ) とする.このとき,次の問に答えよ.

(1) 直線 L の方程式と点 A x 座標 a p を用いて表せ.

(2) 曲線 C と直線 L および y 軸で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V p を用いて表せ.

(3) 関数 f (x )=x x2 +1+ log( x+x 2+1 ) を微分せよ.

(4)  p=2 のとき,直線 x =a と曲線 C および直線 L で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

2017 山形大学 前期

医(医学科)学部

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【6】 方程式 ( z-i) 4=- 12 + 32 i の解を,虚部の大きい方から順に z1 z 2 z 3 z4 とする.このとき,次の問に答えよ.

(1) 複素数 z1 z 2 z 3 z4 を求めよ.

(2) 複素数 { (3- 3) z1 z2 }10 を求めよ.

(3) 実数 s に対して, |z3 -s| | z2-s | が最大になる s の値を求めよ.

2017 山形大学 前期

理(物理分野)学部

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【1】問1 次の関数

y=2 x+cos ( π3 x )

において x =1 2 3 4 5 6 であるときの y をそれぞれ求めよ.

 以下の問いで, 1 2 3 4 5 6 を各々 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x6 と表記し,それぞれの x に対する y の値を y1 y 2 y 3 y 4 y 5 y6 と書く.

問2 次のような a の関数 b を考える.

b=e - 12 ( ax2 -y2 )2

 この関数のグラフの概形をかけ.

問3 次の S の値を最大にする a の値を求めよ.

S =e -12 ( ax1 -y1 )2 ×e -12 ( ax2 -y2 )2 ×e -12 ( ax3 -y3 )2 ×e -12 ( ax4 -y4 )2 ×e -12 ( ax5 -y5 )2 ×e -12 ( ax6 -y6 )2

 ここで右辺のかけ算は 2 行にわたっている.

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理(物理分野)学部

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【2】 変数 t を媒介変数として以下のように表される曲線 C を考える.

x=t- sint y= 1-cos t 0t 2π

以下の問いに答えよ.

問1  d ydx t の関数として表せ.

問2 曲線 C の概形をかけ.

問3 曲線 C x 軸に囲まれる領域の面積を求めよ.

問4 次の不定積分を求めよ.

x2 sinx dx

問5 次の不定積分を求めよ.

2x sin2 xd x

問6 曲線 C y 軸,および直線 y =2 に囲まれた領域を y 軸のまわりに 1 回転させて得られる立体の体積を求めよ.

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工学部

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【1】 次の問いに答えよ.

(1) 不等式 3sin x+cos x>2 を解け.ただし, 0x <2π とする.

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工学部

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【1】 次の問いに答えよ.

(2)  AB:BC: CA=3: 4:5 を満たす面積 1 ABC に対して,内接円の半径を求めよ.

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工学部

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【1】 次の問いに答えよ.

(3) 極方程式で表された直線 l r= 2 asin θ-cos θ と円 C r=2 cosθ が接している.定数 a の値を求めよ.ただし, a>0 とする.

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工学部

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【2】 関数 f (x )= x4-1 x x1 について,次の問いに答えよ.

(1)  x>1 のとき,導関数 f ( x) を求め, f (x )>0 を示せ.

(2)  x>1 のとき, x-f (x) =1 x( x2+ x4- 1) を示せ.

(3)  limx 1+0 f (x ) および limx { x-f (x) } を求めよ.

(4) 曲線 y =f( x) の概形をかけ.

(5) 曲線 y =f( x) 直線 x =a および x 軸で囲まれる部分を x 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.ただし, a>1 とする.

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工学部

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2017年山形大前期工学部【3】2017101210113の図

【3】  1 辺の長さが 3 の正四面体 ABCD において,辺 CD 1 :2 に内分する点を E とし,点 D から EAB に垂線 DH を下ろす.次の問いに答えよ.

(1) 線分 AE の長さを求めよ.

(2)  EAB の面積 S を求めよ.

(3) 正四面体 ABCD の体積 V を求めよ.

(4) 線分 DH の長さを求めよ.



2017 山形大学 前期

工学部

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【4】 数列 { an }

a1= 2 a n+1 =3 an+ 2n- 3-4 (- 1)n n=1 2 3

で定義するとき,次の問いに答えよ.

(1)  bn= an+ pn+q +( -1) nr とおく.数列 { bn } bn+1 =3 bn n=1 2 3 を満たすように,定数 p q r の値を求めよ.

(2) (1)の結果を用いて,数列 { an } の一般項を求めよ.

(3)  k=1 na k n の式で表せ.

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