2017　福島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$i$を虚数単位とする．$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とするとき，${\omega }^4+2{\omega }^3-{\omega }^2$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の不等式を解きなさい．

${\log }_{2}x+{\log }_2(x+1)<1$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1)\text{，}\mathrm{C}(3,1)$を通る円の中心の座標と半径を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　$f(x)+{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt=x^2-x$を満たす関数$f(x)$を求めなさい．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$があり，各辺の長さが$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=7\text{，}\mathrm{CA}=4$である．次の問いに答えなさい．

(1)　$\cos A$を求めなさい．ここで$A$は$\angle \mathrm{BAC}$の大きさとする．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

(4)　辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{CAP}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となるようにとる．$\angle \mathrm{BAP}=\theta$とおくとき，$\sin \theta$を求めなさい．

(5)　線分$\mathrm{AP}$の長さを求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　実数$a\text{，}b\text{，}c$が

$a+b+c=2\text{，}{a}^2+b^2+c^2=8\text{，}abc=-3$

を満たすとき，次の値を求めなさい．

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)　放物線$C\text{：}y=x^2$上に点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{P}$の$x$座標は正であり，$\mathrm{P}$における$C$の接線と$x$軸，および放物線$C$で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(3)　$k$を実数とする．直線$y=-2x+k$と放物線$y=-x^2$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるように$k$が動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(4)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(\theta )=3\sin \theta -2\cos \theta$の最大値，最小値を求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　整式$P(x)$を$x^2-2x+1$で割った余りが$x-2$であり，$2x^2+3x+1$で割った余りが$2x+3$である．このとき，$P(x)$を$2x^{2.}-x-1$で割った余りを求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(2)　$a\text{，}b$を正の定数とする．座標平面上の点$(a,b)$を通る直線$l$が，$x$軸の正の部分および$y$軸の正の部分と交わるように動くとする．$x$軸，$y$軸および直線$l$で囲まれる三角形の面積が最小になるような直線$l$の方程式を求めなさい．

【５】　$\sin 1\text{，}\sin 2\text{，}\sin 3\text{，}0.5$の大小関係について調べ，小さい順から並べなさい．必要ならば$3.14<\pi <3.15$を用いてよい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　$f(\theta )=2\cos 3\theta +9{\cos }^2\theta -7\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$とおく．

(ⅰ)　$t=\cos \theta$とおくとき，$f(\theta )$を$t$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$f(\theta )$の最大値・最小値を求めなさい．そのときの$\theta$の値は求めなくてよい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　双曲線$x^2-y^2=1$と直線$x=2$で囲まれた図形を$D$とする．

(ⅰ)　$D$を座標平面上に図示しなさい．

(ⅱ)　$D$を$x$軸の周りに回転してできる立体の体積を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{dx}{4-x^2}}$を計算しなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)(ⅰ)　次の和を計算しなさい．

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{3^k-2^k}{7^k}}$

(ⅱ)　(ⅰ)の$S_n$について，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(3)　$z^3=i$を満たす$z$をすべて求め，複素数平面上に図示しなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において外心を$\mathrm{O}\text{，}$重心を$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{OG}$上に$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$となる点$\mathrm{D}$をとる．

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表しなさい．

(ⅱ)　直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BC}$が直交することを示しなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(2)　$f(x)=x{e}^{2x}$とおくとき，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　関数$y=f(x)$の極値と変曲点を求めなさい．

(ⅱ)　関数$y=f(x)$のグラフの概形を描きなさい．

(ⅲ)　変曲点の$x$座標を$t$とするとき，積分${\displaystyle {\int }_t^0}f(x)dx$を計算しなさい．

【５】　数列$\{a_n\}$に対して

$b_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$

とおく．

(1)　$\{a_n\}$が初項$1\text{，}$公差$2$の等差数列であるとき$b_n$を求めなさい．

(2)　$\{a_n\}$が等差数列であるとき$\{b_n\}$が等差数列であることを示しなさい．

(3)　$\{b_n\}$が等差数列であるとき$\{a_n\}$が等差数列であることを示しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の不等式を解きなさい．

${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x^2}<{\left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)}^x$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$z^4=1$を満たす複素数をすべて求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　次の関数を微分しなさい．

$y={\displaystyle \frac{{\log }_{e}x}{x^2}}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　$0\leqq \theta <\pi$とするとき，次の方程式を解きなさい．

$\sin 3\theta +\sin 4\theta +\sin 5\theta =0$

【２】　整式$A(x)\text{，}B(x)$を，$x^2-1$で割った余りをそれぞれ$ax+b\text{，}cx+d$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は定数とする．

(1)　$A(x)+B(x)$を$x^2-1$で割った余りを求めなさい．

(2)　$A(x)\cdot B(x)$を$x^2-1$で割った余りを求めなさい．

(3)　$A(x)$を$x-1$で割った余りを求めなさい．

(4)　$A(x)\cdot B(x)$を$x-1$で割った余りを求めなさい．

【３】　$a\text{，}b$を正の定数とするとき，関数$f(x)=a{e}^{-bx}$において，次の問いに答えなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を描きなさい．

(2)　$f(x)={\displaystyle \frac{a}{2}}$となる$x$を求めなさい．

(3)　$K$を正の定数とするとき，${\displaystyle {\int }_0^K}f(x)dx$を求めなさい．

(4)　$L>1$に対して，$S(L)={\displaystyle {\int }_0^{{\log }_{e}L}}f(x)dx$とするとき，極限値$\underset{L\to \infty }{\lim }S(L)$を求めなさい．

【４】　直角三角形$\mathrm{OAB}$に対し，$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\angle \mathrm{OBA}=\beta \text{，}$$\mathrm{AB}=1$とする．辺$\mathrm{BA}$を$n$等分する$n-1$個の点のうち，$\mathrm{B}$から$k$個目の点を${\mathrm{P}}_k$とする．ただし，$n\geqq 2\text{，}$$1\leqq k\leqq n-1$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$を求めなさい．

(2)　${\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_k}\right|}^2$を求めなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_k}\right|}^2$を求めなさい．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n-1}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_k}\right|}^2$を求めなさい．