2017　茨城大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$は実数で，$a>0$とする．放物線$C_1\text{：}y=2-x^2$と放物線$C_2\text{：}y=x^2+2ax+b$は$2$つの共有点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をもつとする．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標$x_{\mathrm{P}}$と$\mathrm{Q}$の$x$座標$x_{\mathrm{Q}}$は$x_{\mathrm{P}}<x_{\mathrm{Q}}$を満たす．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の条件を求めて，それを$ab$平面上に図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線は平行であることを示せ．

(3)　$b=a^3-3a^2-6a+3$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$となる三角形$\mathrm{ABC}$に対して，辺$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線が，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と交わる点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．ただし，弧$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{P}$とし，弧$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$から直線$\mathrm{AB}$にそれぞれ垂線$\mathrm{PR}\text{，}\mathrm{QS}$を引く．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{PBR}=\angle \mathrm{PMR}$であることを示せ．

(2)　三角形$\mathrm{SMR}$は直角三角形であることを示せ．

【３】　関数$y=3\cos 2\theta +4\sin 2\theta +6\sin \theta +12\cos \theta$について，次の各問に答えよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)　$x=\sin \theta +2\cos \theta$として，$y$を$x$の関数で表せ．

(2)　$y$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$2$と書かれた空の封筒が$2$つ，$3$と書かれた空の封筒が$2$つある．箱の中に$4$と書かれたカードが$3$枚，$5$と書かれたカードが$1$枚，$6$と書かれたカードが$2$枚，$9$と書かれたカードが$4$枚入っている．各封筒には封筒に書かれた数の倍数が書かれたカードのみが入る．さらに，各封筒には$1$枚のカードしか入らない．この箱の中から$4$枚のカードを同時に取り出すとき，次の各問に答えよ．

(1)　$6$と書かれたカードを含まずに，すべての封筒にカードが入る確率を求めよ．ただし，「すべての封筒にカードが入る」とは，取り出した$4$枚のカードすべてを封筒に入れられる入れ方が少なくとも$1$つあることとする．

(2)　すべての封筒にカードが入る確率を求めよ．

(3)　どのような入れ方をしてもカードが入らない封筒が$1$つ以上あったとき，$5$と書かれたカードを含んでいない確率を求めよ．

【１】　$a$を実数の定数とし，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$2$つの曲線$C_1\text{：}y=1+\cos 2x$と$C_2\text{：}y=a\cos x$を考える．$C_1$と$C_2$は$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において共有点をただひとつ持つとし，その共有点の$x$座標を$t$とする．$0\leqq x\leqq t$の範囲で$C_1\text{，}{C}_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$t\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　関数$y=1+\cos 2x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の増減，最大最小，および曲線$C_1$の凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形をかけ．

(2)　$a$のとり得る値の範囲を求めよ．また，$a$を$t$を用いて表し，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$S_1+S_2$を$t$を用いて表せ．

(4)　$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，$S_1+S_2$が最小になる$t$の値を求めよ．

【２】　$\alpha$を複素数の定数とし，自然数$n$に対して複素数$z_n$を

$z_1=0\text{，}{z}_{n+1}=\alpha z_n+1-\alpha$

で定める．以下の各問に答えよ．

(1)　$z_2\text{，}{z}_3\text{，}{z}_4$をそれぞれ$\alpha$を用いて表せ．

(2)　一般の$n$について$z_n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

以下では，$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos \theta +i\sin \theta )$とする．ただし，$i$は虚数単位を表し，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(3)　${\displaystyle \frac{\theta }{\pi }}$が無理数であるとき，どんな自然数$n$に対しても$z_{n+1}$は実数にならないことを示せ．

(4)　自然数$n$に対して，複素数平面上の$2$点$z_n$と$z_{n+1}$との距離を$l_n$とする．無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{l}_n$の和$L$を求めよ．さらに，$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$の範囲を動くとき，$L$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とし，対数は自然対数とする．$x>0$の範囲で，$2$つの曲線$C\text{：}y=x\log x$と$C_n\text{：}y=k_n{x}^{n+1}$を考える．$C$と$C_n$は共有点${\mathrm{P}}_n$を持ち，かつ${\mathrm{P}}_n$における$C$と$C_n$の接線が一致するように定数$k_n$を定める．${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$a_n$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　関数$y=x\log x\text{（}x>0\text{）}$の増減，極値，および曲線$C$の凹凸，変曲点を調べ，$C$の概形をかけ．ただし，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$であることは証明せずに用いてよい．

(2)　$k_n$および$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　曲線$C$と$C_2$および，$2$直線$x=a_1\text{，}x=a_2$で囲まれた部分の面積$T$を求めよ．

(4)　点${\mathrm{P}}_n$における曲線$C_n$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$b_n$とし，$C_n\text{，}2$直線$x=a_n\text{，}x=b_n$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{S}_n$を求めよ．ただし，$e$を自然対数の底とし，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n=e$であることは証明せずに用いてよい．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり， $e$は自然対数の底である．

(1)　次の極限を調べよ．

(ⅰ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{(1-{\displaystyle \frac{2}{x}})}^{-x}$

(ⅱ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }(3^x-\sqrt{9^x-3^x})$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり， $e$は自然対数の底である．

(2)　関数$y=\log {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}$を微分せよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり， $e$は自然対数の底である．

(3)　次の定積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_{-2}^0}(x-4){(x+2)}^{5}dx$

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{x+1}dx$

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{2}{e^x+1}}$の逆関数を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　方程式${\log }_{2}x+2x^2-10x+9=0$は，$1<x<4$の範囲に少なくとも$1$つの実数解をもつことを示せ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(3)　$t$を実数の定数とし，$i$を虚数単位とする．$3$つの複素数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を

$\alpha =t+2i\text{，}\beta =(3t+4)+(t^2+6)i\text{，}\gamma =(t+2)+5i$

とする．複素数平面上の$3$点$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が同一直線上にあるときの$t$をすべて求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(1)　$xy-x-11y+11$を因数分解せよ．

(2)　$x\text{，}y$を$0$でない整数とする．${\displaystyle \frac{11}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=1$を満たす$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

(3)　$x\text{，}z\text{，}w$を$0$でない整数とする．$2z-3w=1$と${\displaystyle \frac{11}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2z}}+{\displaystyle \frac{1}{3w}}=1$を同時に満たす$x\text{，}z\text{，}w$の組をすべて求めよ．

【４】　$e$を自然対数の底として，曲線$C\text{：}y=e^{2x}$を考える．$x$軸上の点$\mathrm{P}(t,0)$から曲線$C$へ引いた接線を$l$とし，$C$と$l$の接点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)　接点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　曲線$C\text{，}$接線$l\text{，}$および直線$x=t$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(t)$を求めよ．

(3)　(2)の$V(t)$に対して，極限$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log V(t)}{t}}$を求めよ．ただし，対数は自然対数である．