2017　茨城大学　後期MathJax

(1)　$x_n\text{，}{y}_n$および$b_n$を$n$を用いて表し，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，不等式$y_n>y_{n+1}$および$x_n>x_{n+1}$を示せ．

(3)　曲線$C$の，点${\mathrm{P}}_1$から${\mathrm{P}}_{n+1}$までの部分の長さを$L_n$とする．$L_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　(3)で定めた$L_n$に対して，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$を求めよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$は$f^{\prime }(x)=\sqrt{2}{e}^{-x}\cos x$を満たすことを示せ．

(2)　$k$を自然数とする．$2(k-1)\pi <x<(2k-1)\pi$の範囲で，関数$f(x)$の増減を調べ，極値を$k$を用いて表せ．

(3)　$k$を自然数とする．$(2k-1)\pi <x<2k\pi$の範囲で，関数$f(x)$の増減を調べ，極値を$k$を用いて表せ．

(4)　自然数$n$に対して，$(n-1)\pi <x<n\pi$の範囲における関数$f(x)$の極値を$a_n$とする．無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を求めよ．

$[{\mathrm{G}}_1]$　助さんがつぼの中から無作為に玉を$1$個取り出し，それが赤玉であれば助さんの勝ち，白玉であれば助さんの負け，とする．

$[{\mathrm{G}}_2]$　助さんがつぼの中から無作為に玉を$2$個取り出し，その中に赤玉が少なくとも$1$個あれば助さんの勝ち，$2$個とも白玉であれば助さんの負け，とする．

$[{\mathrm{G}}_3]$　まず格さんがつぼの中から無作為に玉を$1$個取り出し，次に助さんがつぼの中から白玉を$1$個取り出す．その後，再び助さんがつぼの中から無作為に玉を$1$個取り出し，それが赤玉であれば助さんの勝ち，白玉であれば助さんの負け，とする．ただし，取り出した玉はもとに戻さないものとする．

$[{\mathrm{G}}_4]$　まず助さんがつぼの中から白玉を$1$個取り出し，次に格さんがつぼの中から無作為に玉を$1$個取り出す．その後，再び助さんがつぼの中から無作為に玉を$1$個取り出し，それが赤玉であれば助さんの勝ち，白玉であれば助さんの負け，とする．ただし，取り出した玉はもとに戻さないものとする．

各ゲーム$[{\mathrm{G}}_i]$で助さんの勝つ確率を$P_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$P_1\text{，}{P}_2$をそれぞれ$n$と$k$を用いて表し，$P_1$と$P_2$の大小関係を判定せよ．

(2)　$P_3\text{，}{P}_4$をそれぞれ$n$と$k$を用いて表し，$P_3$と$P_4$の大小関係を判定せよ．

(3)　$P_1$と$P_4$の大小関係および$P_2$と$P_3$の大小関係をそれぞれ判定せよ．

(4)　$k\geqq 3$かつ$n=k-1$とする．助さんの勝つ確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きいゲームを$[{\mathrm{G}}_1]\text{〜}[{\mathrm{G}}_4]$からすべて求めよ．

(1)　線分$\mathrm{CD}$の長さを$d$とおく．$▵\mathrm{ACD}$の面積$S$を$b\text{，}d$と$z$を用いて表し，$▵\mathrm{BCD}$の面積$T$を$a\text{，}d$と$z$を用いて表せ．さらに，$S:T=b:a$を示せ．

(2)　$b:a=2:1$を示せ．

(3)　$c:a=t:1$を示せ．

(4)　$\cos x$を$t$を用いて表せ．また，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(5)　$\cos x$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$x=e^{-2t}\cos t\text{，}$$y=e^{-2t}\sin t$

で表されているとする．

　以下の各問の$\boxed{}$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$の時刻$t$における速度ベクトル$\overrightarrow{v}$を求めると，$\overrightarrow{v}=(\boxed{\text{(せ)}},\boxed{\text{(そ)}})$である．ただし，点$\mathrm{P}$の時刻$t$における速度ベクトル$\overrightarrow{v}$は，$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})$と表される．

(2)　点$\mathrm{P}$が$t=(n-1)\pi$から$t=n\pi$までの間に動いた道のりを$L_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．このとき，$L_n=\boxed{\text{(た)}}$である．ただし，一般に点$\mathrm{P}$が$t=t_1$から$t=t_2$までの間に動いた道のりは，${\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}}\left|\overrightarrow{v}\right|dt$と表される．

(3)　(2)で求めた$L_n$に対し，無限級数${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }}{L}_m$の和は$\boxed{\text{(ち)}}$である．