2017　筑波大学　推薦理工学群数学類MathJax

【１】　次の条件によって数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$を定める．

$a_n=1+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{n\pi }{2}}}\sin xdx\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

$b_0=1\text{，}{b}_{n+1}=2{(b_n)}^{a_n}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

$c_n={\log }_2{b}_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(2)　$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3$を求めよ．

(3)　$c_{4m}\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$m$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{4m}}{c}_n\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$m$を用いて表せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$1$でない正の数$a\text{，}b$と，正の数$c$について成り立つ底の変換公式

${\log }_{a}c=({\log }_{a}b)({\log }_{b}c)$

を証明せよ．

(2)　$x\geqq 0$のとき，不等式${\log }_{10}(1+x)\leqq {\displaystyle \frac{x}{2}}$が成り立つことを示せ．ただし，自然対数の底$e$について，$2<e<3$であることを使ってよい．

(3)　${(1002)}^n$が$2017$桁の整数となるような正の整数$n$をすべて求めよ．

【３】　関数$f(x)$は$0\leqq x\leqq 1$で$f(x)\geqq 0$かつ連続で，$f(0)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$を満たすとする．

(1)　等式

${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{2}f(x)dx={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx-2{\displaystyle {\int }_0^1}x({\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt)dx$

が成り立つことを示せ．

(2)　$0<t\leqq x\leqq 1$を満たすすべての$x\text{，}t$について，条件

$f(t)\geqq f(0)+{\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x}}t$

が成り立つとき，不等式

${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{2}f(x)dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{({\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx)}^3$

が成り立つことを示せ．

(3)　$0<t\leqq x\leqq 1$を満たすすべての$x\text{，}t$について，条件

$f(t)\geqq f(0)+{\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x}}t$

が成り立つとする．このとき等式

${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{2}f(x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{({\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx)}^3$

を満たす関数$f(x)$を求めよ．