2017　筑波大学　推薦理工学群応用理工学類MathJax

【問題２　問１】　座標平面上において，${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}\leqq 1\text{，}0\leqq x\leqq 1\text{，}y\geqq 0$を満たす領域$D$の面積を求めよ．

【問題２　問２】　$S(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|e^x-e^t|dx$について考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，関数$f(x)=|e^x-e^t|$について$0\leqq x\leqq 1$における曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$0\leqq t\leqq 1$のとき，$S(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|e^x-e^t|dx$を求めよ．

(3)　$0\leqq t\leqq 1$において，$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【問題２　問３】　関数$f(x)=x^2$と$g(x)=-x^2+2ax-2a^2-4a$について考える．ただし，$a$は定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる$2$点で交点を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる領域の面積を求めよ．等式${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )dx=-{\displaystyle \frac{{(\beta -\alpha )}^3}{6}}$を用いてもよい．

【問題３　問１】　空間内に，中心$\mathrm{A}(1,1,0)$で半径$1$の球面$C$と，点$\mathrm{B}(0,0,b)$を通りベクトル$\overrightarrow{u}=(1,1,-1)$に平行な直線$l$がある．ただし，$b\geqq 1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$上の任意の点$\mathrm{X}$の座標を，媒介変数$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{A}$から直線$l$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{AH}}\right|$を$b$で表せ．

(3)　球面$C$と直線$l$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるときの$b$の値の範囲を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{PAQ}$の面積が最大となるときの$b$の値を求めよ．

【問題３　問２】　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=3a_n+6\text{（}n\geqq 1\text{）}$で表される数列$\{a_n\}$について考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_n-\alpha$とおき，数列$\{b_n\}$が等比数列となるように$\alpha$を定めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$と数列$\{a_n\}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{a}_k$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{(2k+1)}{(k+1)(k+2)}}{b}_k$を求めよ．