2017　宇都宮大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の直線$y=mx+n$は，$2$次関数$y=-x(x-1)$のグラフと点$\mathrm{P}$で接し，かつ$2$次関数$y=-(x-a)(x-1)$のグラフと点$\mathrm{Q}$で接する．接点$\mathrm{P}$の座標を$(p_1,p_2)\text{，}$接点$\mathrm{Q}$の座標を$(q_1,q_2)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

問１　$n$を$m$の式で表せ．

問２　$a$を$m$の式で表せ．

問３　$p_1\text{，}{q}_1$をそれぞれ$m$の式で表せ．

問４　$p_2>0$かつ$q_2>0$となるような$m$の値の範囲を求めよ．

【２】　平面上の異なる$2$つの定点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$と直線$\mathrm{OA}$上にない点$\mathrm{B}$に対し，$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に平行な直線を$l$とする．線分$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{C}$から$l$に下ろした垂線を$\mathrm{CD}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$をそれぞれ$\mathrm{O}$を基準とする$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の位置ベクトルとする．

問１　$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問３　$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1$をみたし，かつ$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$120\mathrm{°}$であるとき，四角形$\mathrm{OADB}$は平行四辺形であることを示せ．

問４　$\left|\overrightarrow{a}\right|=s$とする．$\overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\leqq 0$をみたし，かつ四角形$\mathrm{OADB}$が平行四辺形であるとき，$|\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}|$を$s$に式で表せ．

【３】　$1$から$180$までの整数のうち，初項が$5\text{，}$公差が$4$の等差数列にあらわれる数の集合を$\mathrm{A}\text{，}$初項が$1\text{，}$公差が$6$の等差数列にあらわれる数の集合を$\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{A}$に属するすべての数の和を求めよ．

問２　$\mathrm{B}$に属するすべての数の和を求めよ．

問３　共通部分$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$に属するすべての数の和を求めよ．

問４　和集合$\mathrm{A}\cup \mathrm{B}$に属するすべての数の和を求めよ．

【４】　関数$S(t)$を

$S(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+1}}|x^2-1|dx$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

問１　関数$y=|x^2-1|$のグラフの概形を図示せよ．

問２　$-1\leqq t\leqq 0$であるとき，$S(t)$を求めよ．

問３　$0\leqq t\leqq 1$であるとき，$S(t)$を求めよ．

問４　関数$S(t)$の$-1\leqq t\leqq 1$における最大値と最小値を求めよ．

【５】　曲線$C\text{：}y=x^4-4x^3$と，$x$軸上の点$\mathrm{P}(p,0)$がある．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$p>0$とする．

問１　曲線$C$上の点$(t,t^4-4t^3)$における接線の方程式を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}$から曲線$C$に何本の接線が引けるかを調べよ．

問３　点$\mathrm{P}$から曲線$C$にちょうど$2$本の接線が引けるとき，傾きが負である接線を$l$とする．曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【６】　複素数に関する次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

問１　方程式$z^3=i$の$3$つの解$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$を求めよ．ただし，$0\leqq \arg z_1<\arg z_2<\arg z_3<2\pi$とする．

問２　等式$z\bar{z}+2(z+\bar{z})+2\sqrt{3}i(z-\bar{z})+12=0$をみたす点$z$全体が表す図形を求め，その図形を複素数平面上に図示せよ．

問３　$a$を正の実数とする．複素数$z_0$は${z_0}^3=ia$をみたし，かつ$z_0$の表す点が問２で求めた図形上にあるとする．このとき，$a$と$z_0$の値をそれぞれ求めよ．

志望別問題選択一覧

地域デザイン科（コミュニティデザイン学科），教育（学校教育・特別支援教育系，教科文系，教科理系）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

地域デザイン科（建築都市デザイン，社会基盤デザイン学科）学部　【１】，【２】，【３】，【５】，【６】

工（機械システム工，電気電子工，情報工学科）学部　【１】，【２】，【３】，【５】，【６】

農（生物資源科，農業環境工，農業経済，森林科学科）学部　【１】，【２】，【３】，【４】，【５】