2017　宇都宮大学　教育学部数学分野推薦小論文MathJax

2017　宇都宮大学　教育学部数学分野推薦小論文

易□　並□　難□

【１】　不定方程式 $23 x + 18 y = 1$ の整数解 $x ， y$ について，次の問いに答えよ．

問１　 $1$ 組の整数解を求めよ．

問２　すべての整数解を求めよ．

問３　 $- 100 ≦ x ， y ≦ 100$ であるような整数解の個数を求めよ．

問４　 $x + y$ が $2$ けたの自然数となるような整数解の個数を求めよ．

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【２】　次の問いに答えよ．

問１　第 $n$ 項が $a_{n} = 3 n^{2} + 2 n + 1$ である数列 ${a_{n}}$ の階差数列 ${b_{n}}$ は，等差数列であることを示せ．

問２　初項 $a \neq 0 ，$ 公比 $r \neq 0$ の等比数列 ${a_{n}}$ において

$S = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} ， T = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} ， U = a_{1} \times a_{2} \times \dots \times a_{n}$

とする． $\frac{S}{T}$ と $U$ の関係を調べよ．

問３　数列 ${a_{n}}$ が $0 ≦ a_{n} ≦ 1 （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ であるとき，次の不等式を数学的帰納法によって証明せよ．

$(1 - a_{1}) (1 - a_{2}) \dots (1 - a_{n}) ≧ 1 - (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) （ n ≧ 1 ）$

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【３】　 $3$ 次関数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ は， $x = 1$ で極小値 $- 1$ をとり， $x = 3$ で極大値 $3$ をとる．このとき，次の問いに答えよ．

問１　定数 $a ， b ， c ， d$ の値を求めよ．

問２　関数 $y = f (x)$ のグラフの概形をかけ．

問３　実数 $k$ に対して， $f (x) = k$ かつ $0 ≦ x ≦ 2$ をみたす $x$ の個数を調べよ．

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【４】次の問いに答えよ．

問１　机の上に $A 4$ のコピー用紙がばらばらに山積みされている． $A 4$ のコピー用紙全体の枚数を推測しようと思うが，数えないで枚数を推測するには，何を調べて，どのような計算をすればよいか．枚数を推測する方法を説明せよ．

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【４】次の問いに答えよ．

問２　日常生活や数学において関数が活用されている具体的な場面を $1$ つあげ，関数関係を見いだしていくことのよさを $600$ 字以内で述べよ．