2017　群馬大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=2^{3x}+2^{-3x}-3\cdot 2^{3+x}-3\cdot 2^{3-x}\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$がある．$t=2^x+2^{-x}\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$とする．

(1)　$f(x)$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$の最小値を求めよ．

(3)　$f(x)$の最小値およびそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　複素数平面上の点$z$と点$w$の関係は，$w={\displaystyle \frac{z-i}{z+i}}$であるとする．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$z=1-2i$のとき，$w$の実部を求めよ．

(2)　点$w$が点$-1+i$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，点$z$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

【３】　${\theta }_n={\displaystyle \frac{\pi }{4n(n+1)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=\cos {\theta }_1\text{，}{b}_1=\sin {\theta }_1$で与えられ，漸化式$a_{n+1}=a_n\cos {\theta }_{n+1}-b_n\sin {\theta }_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}=a_n\sin {\theta }_{n+1}+b_n\cos {\theta }_{n+1}$を満たす．

(1)　$a_2\text{，}{b}_2$の値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$かつ$\mathrm{BC}=3$であるとする．$▵\mathrm{OBC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，直線$\mathrm{AG}$は$▵\mathrm{OBC}$を含む平面に垂直であるとする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{B}$から$▵\mathrm{OAC}$を含む平面に下ろした垂線は，直線$\mathrm{AG}$と交わらないことを示せ．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log x\text{（}1\leqq x\leqq e\text{）}$と，その逆関数$f^{-1}(x)\text{（}f(1)\leqq x\leqq f(e)\text{）}$について，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数である．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}f(x)dx$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)\text{（}1\leqq x\leqq e\text{）}$の長さを求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{f(1)}^{f(e)}}{f}^{-1}(x)dx$を求めよ．

【２】　座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(3,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,4)$がある．$x$軸，$y$軸，および線分$\mathrm{PQ}$のいずれにも接する円で，中心が第$1$象限にあるものを$C$とする．

(1)　円$C$の半径を求めよ．

(2)　円$C$と線分$\mathrm{PQ}$の接点の座標を求めよ．

【５】　$a\text{，}b\text{，}c$は定数で，$a>0$とする．関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$は，${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx=0\text{，}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}xf(x)dx=0\text{，}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{f(x)}^{2}dx={\displaystyle \frac{2}{5}}$を満たすとする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　${\theta }_n={\displaystyle \frac{5\pi }{6n(n+1)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=\cos {\theta }_1\text{，}{b}_1=\sin {\theta }_1$で与えられ，漸化式$a_{n+1}=a_n\cos {\theta }_{n+1}-b_n\sin {\theta }_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}=a_n\sin {\theta }_{n+1}+b_n\cos {\theta }_{n+1}$を満たす．

(1)　$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の極限を求めよ．

【２】　複素数平面上の点$z$と点$w$の関係は，$w={\displaystyle \frac{z-i}{z+i}}$であるとする．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$z={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}i$のとき，$w$の実部を求めよ．

(2)　点$w$が点$-1+i$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，点$z$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

【３】　$a\text{，}b$は実数で，$a<b<1$であるとする．$a+b+{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}=10$かつ$a+b+ab+{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{b}{a}}+{\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{ab}}=34$のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$かつ$\mathrm{BC}=3$であるとする．$▵\mathrm{OBC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，直線$\mathrm{AG}$は$▵\mathrm{OBC}$を含む平面に垂直であるとする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{B}$から$▵\mathrm{OAC}$を含む平面に下ろした垂線は，直線$\mathrm{AG}$と交わらないことを示せ．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log x$がある．曲線$y=f(x)\text{（}1\leqq x\leqq e\text{）}$を$C$とし，直線$y=x$を$l$とする．$C$上の点$\mathrm{A}(1,f(1))\text{，}\mathrm{B}(e,f(e))$から$l$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とする．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数である．

(1)　$C$の長さを求めよ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{P}(x,f(x))$から$l$に下ろした垂線の足$\mathrm{Q}$について，線分$\mathrm{MQ}$の長さを$g(x)$とおくとき，$\sqrt{2}{\displaystyle {\int }_0^{g(e)}}\log g^{-1}(t)dt$を求めよ．ただし，$g^{-1}(x)$は$g(x)$の逆関数である．