2017　埼玉大学　前期（経済，教育学部）MathJax

【１】　$2$つの不等式$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi \text{，}0\leqq y\leqq 2\pi$をみたす点$(x,y)$の領域を$A$とする．この$A$に属している点であって，

$2{\sin }^{2}x+(\sin y-\cos y)\sin x\geqq (\cos y-\sin y)\cos x+1$

という不等式をもみたす点の領域を$B$とする．領域$A$と領域$B$の面積を，それぞれ，$S_1$と$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の値を求めなさい．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}\text{，}$外心を$\mathrm{O}$とし，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ，$a\text{，}b\text{，}c$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=r\overrightarrow{\mathrm{AB}}+s\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる実数$r\text{，}s$を，$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表しなさい．

(2)　頂点$\mathrm{A}$に対応する内角の大きさが${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}+u\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる実数$t\text{，}u$を，$b\text{，}c$を用いて表しなさい．

【３】　サイコロを$4$回投げて，出た目の数を，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$とする．サイコロを投げるとき，$1$から$6$までの$6$通りのうちいずれかの目が出て，どの目が出ることも同様に確からしいとする．このとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$4$個の数からなるデータとみなすことにする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$はすべて異なるという条件の下で，$4$個の数からなるデータの平均値と中央値が一致する場合の確率を求めなさい．

(2)　$4$個の数からなるデータの平均値と中央値が一致する場合の確率を求めなさい．

【４】　放物線上の異なる$2$個の点での接線が直交しているとする．このとき，接線の交点の軌跡が直線となることを証明しなさい．