2017　埼玉大学　前期　理(数学)，工学部MathJax

2017　埼玉大学　前期

理(数学)，工学部共通

易□　並□　難□

(1)　 $n$ を自然数とする．三角関数の加法定理を用いて，等式

$\cos (n + 2) θ + \cos n θ = 2 \cos θ \cos (n + 1) θ$

を導け．

(2)　 $\cos 2 θ = T_{2} (\cos θ) ， \cos 3 θ = T_{3} (\cos 3 θ)$ を満たす整式 $T_{2} (x) ， T_{3} (x)$ をそれぞれ求めよ．

(3)　自然数 $n$ に対し， $\cos n θ = T_{n} (\cos θ)$ を満たす整数係数の $n$ 次の整式 $T_{n} (x)$ が存在することを示せ．

(4)　自然数 $k$ に対し， $\cos \frac{π}{4 k}$ は無理数であることを示せ．ただし， $\sqrt{2}$ が無理数であることは証明なしに用いてよい．

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理(数学)，工学部共通

易□　並□　難□

$f (x) = x^{2} e^{- x} + \int_{0}^{x} e^{t - x} f (t) d t$

を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)　 $f (0) ， f^{'} (0)$ を求めよ．

(2)　 $f^{'} (x)$ を求めよ．

(3)　 $f (x)$ を求めよ．

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理(数学)，工学部共通

易□　並□　難□

(1)　 $p_{2} ， q_{2} ， r_{2} ， s_{2} ， p_{3} ， q_{3} ， r_{3} ， s_{3}$ を求めよ．

(2)　 $p_{n + 1} ， q_{n + 1} ， r_{n + 1} ， s_{n + 1}$ を $p_{n} ， q_{n} ， r_{n} ， s_{n}$ を用いて表せ．

(3)　 $p_{n} + r_{n}$ を求めよ．

(4)　 $k$ を自然数とする． $p_{2 k + 2}$ を $p_{2 k}$ を用いて表せ．

(5)　 $k$ を自然数とする． $p_{2 k} ， r_{2 k} ， q_{2 k + 1} ， s_{2 k + 1}$ を求めよ．

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易□　並□　難□

$C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$

$L ： x y = 1$

次の問いに答えよ．

(1)　円 $C$ と双曲線 $L$ の共有点をすべて求めよ．

(2)　円 $C$ の中心を $P$ とし，(1)で求めた共有点のうち， $x$ 座標が最も大きいものを $Q ，$ その次に大きいものを $R$ とする．このとき， $∠ QPR$ を求めよ．

(3)　以下の領域の面積を求めよ．

${\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} ≦ 8 \\ x y ≦ 1 \end{cases}$

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