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2017-10221-0301
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2017 埼玉大学 後期
理,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 平面上に ▵ ABC と点 O があり,点 O は点 A ,B , C と異なり,
OA→ = 43⁢ OB →+ 32 ⁢ OC→
を満たすものとする.次の問いに答えよ.
(1) 直線 OA と直線 BC の交点を P とする.長さの比 AP :PO を求めよ.
(2) 辺 AB を 8 :3 に内分する点を Q とする.直線 OQ と直線 CA は平行であることを示せ.
(3) 直線 OQ と直線 BC の交点を R とする. ▵APC と ▵ PQR の面積の比を求めよ.
2017-10221-0302
【2】 θ を実数とする.虚部が 0 でない複素数 z に対して,複素数 w を
w= z⁢cos⁡ θ+sinθ -z⁢ sin⁡θ+ cos⁡θ
により定める.次の問いに答えよ.
(1) z=i のとき, w を計算せよ.
(2) z の虚部が正ならば, w の虚部も正であることを示せ.
(3) z=2⁢ i とする. w の実部を x , 虚部を y とするとき, x ,y を θ を用いて表せ.
(4) (3)において, cos⁡2 ⁢θ ,sin⁡ 2⁢θ を x , y を用いて表せ.
(5) (3)において, θ が実数全体を動くとき, w の描く図形を複素数平面上に図示せよ.
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【3】 xy 平面上に放物線 y =x2 がある. t を正の実数とし,放物線 y =x2 上に点 O ( 0,0 ) ,P ( -1,1 ), Q (t ,t2 ) をとる. 3 点 O ,P , Q を通る円を C とする.次の問いに答えよ.
(1) 円 C の中心の座標を t を用いて表せ.
(2) 円 C と放物線 y =x2 の共有点の個数が 3 個となるような t をすべて求めよ.
(3) t が正の実数全体を動くとき,円 C の半径の最小値を求めよ.
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【4】 xy 平面上の 3 つの曲線
C1 :y=2 ⁢e3 ⁢x , C2 :y=3 ⁢ex , C3 :y= 24 ex- e-x
を考える.次の問いに答えよ.
(1) C1 と C2 ,C 2 と C3 ,C3 と C 1 の交点の x 座標をそれぞれ求めよ.
(2) t=e x+e -x とおくことにより,不定積分 ∫ 1 ex -e- x ⁢ dx を t の式で表せ.
(3) 3 つの曲線 C1 ,C 2 ,C3 で囲まれた部分の面積を求めよ.