2017　埼玉大学　後期（理，工学部）MathJax

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．長さの比$\mathrm{AP}:\mathrm{PO}$を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$を$8:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{CA}$は平行であることを示せ．

(3)　直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$▵\mathrm{APC}$と$▵\mathrm{PQR}$の面積の比を求めよ．

$w={\displaystyle \frac{z\cos \theta +\sin \theta }{-z\sin \theta +\cos \theta }}$

により定める．次の問いに答えよ．

(1)　$z=i$のとき，$w$を計算せよ．

(2)　$z$の虚部が正ならば，$w$の虚部も正であることを示せ．

(3)　$z=2i$とする．$w$の実部を$x\text{，}$虚部を$y$とするとき，$x\text{，}y$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　(3)において，$\cos 2\theta \text{，}\sin 2\theta$を$x\text{，}y$を用いて表せ．

(5)　(3)において，$\theta$が実数全体を動くとき，$w$の描く図形を複素数平面上に図示せよ．

(1)　円$C$の中心の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　円$C$と放物線$y=x^2$の共有点の個数が$3$個となるような$t$をすべて求めよ．

(3)　$t$が正の実数全体を動くとき，円$C$の半径の最小値を求めよ．

$C_1\text{：}y=2e^{3x}\text{，}{C}_2\text{：}y=3e^x\text{，}{C}_3\text{：}y={\displaystyle \frac{24}{e^x-e^{-x}}}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2\text{，}{C}_2$と$C_3\text{，}{C}_3$と$C_1$の交点の$x$座標をそれぞれ求めよ．

(2)　$t=e^x+e^{-x}$とおくことにより，不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{e^x-e^{-x}}}dx$を$t$の式で表せ．

(3)　$3$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．