2017　千葉大学　先進科学プログラム方式IIIMathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-6\log (x-1)$の最小値を求めなさい．

【２】　赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，同時に$3$個取り出す．

(1)　異なる色の玉が$1$つずつ含まれrている場合の確率を求めなさい．

(2)　取り出された玉の中に含まれる赤玉の個数の期待値を求めなさい．

【３】　方程式$x^2+y^2-2k(x+ky)+k^4-k^3+k^2+k=0$が円を表すとする．定数$k$は実数である．

(1)　$k$の値の範囲を求めなさい．

(2)　$k$がこの範囲で変化するとき，円の中心の軌跡を求め，図示しなさい．

【４】　座標平面上を運動する点$\mathrm{A}$の時刻$t$における座標が$x=e^{-at}\sin at\text{，}y=e^{-at}\cos at$で表されるとき，点$\mathrm{A}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$のなす角を求めなさい．ただし，$a$は正の定数で，原点$\mathrm{O}$の座標は$(0,0)$である．

【５】　不定積分$I={\displaystyle \int }{e}^{-x}\cos 3xdx$および$J={\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin 3xdx$を求めなさい．