2017　千葉大学　先進科学プログラム方式IMathJax

【１】　次の方程式を解きなさい．ただし，$i$は虚数単位である．

$x^4=-2+2\sqrt{3}i$

【２】　次の和$S$を求めなさい．ただし，$n$は自然数である．

$S={\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}}$$+\cdots$$+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}}$

【３】　次の方程式を解きなさい．

${\log }_{3}x-{\log }_{x}9=-1$

【４】　正八角形$\mathrm{ABCDEFGH}$において，以下の問いに答えなさい．

(1)　頂点$\mathrm{A}\text{〜}\mathrm{H}$の中から相違なる$4$つの点を選ぶときの場合の数と，それらの点を結んでできる四角形が正方形である場合の数を，それぞれ求めなさい．

(2)　頂点$\mathrm{A}\text{〜}\mathrm{H}$の中から$3$つの点を選ぶ．それらの点を結んでできる三角形の内角がすべて鋭角である場合の数を求めなさい．

【５】　$n$を整数とするとき，$n^2+n+2$は$5$で割り切れないことを証明しなさい．

【６】　曲線$y=\sin x$（ただし，$0\leqq x\leqq 3\pi$）と$4$点で交わるように$x$軸に平行な直線$y=k$を引く．以下の問いに答えなさい．

(1)　$4$つの交点のうち，最小の$x$座標をもつ交点の$x$座標を$\alpha$とする．このとき，残りの$3$点の$x$座標をすべて求めなさい．

(2)　曲線と直線で囲まれる$3$つの図形の面積の合計$S$を，$\alpha$を用いて表しなさい．

(3)　$S$の最小値と，そのときの$k$の値を求めなさい．