2017　東京大学　前期MathJax

【１】　座標平面において$2$つの放物線$A\text{：}y=s{(x-1)}^2$と$B\text{：}y=-x^2+t^2$を考える．ただし，$s\text{，}t$は実数で，$0<s\text{，}0<t<1$をみたすとする．放物線$A$と$x$軸および$y$軸で囲まれる領域の面積を$P$とし，放物線$B$の$x\geqq 0$の部分と$x$軸および$y$軸で囲まれる領域の面積を$Q$とする．$A$と$B$がただ$1$点を共有するとき，${\displaystyle \frac{Q}{P}}$の最大値を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$が与えられている．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{CD}$上をそれぞれ独立に動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{R}$が通りうる範囲の面積を求めよ．

【３】　座標平面上で$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．格子点上を次の規則(a)，(b)に従って動く点$\mathrm{P}$を考える．

(a)　最初に，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にある．

(b)　ある時刻で点$\mathrm{P}$が格子点$(m,n)$にあるとき，その$1$秒後の点$\mathrm{P}$の位置は，隣接する格子点$(m+1,n)\text{，}(m,n+1)\text{，}(m-1,n)\text{，}(m,n-1)$のいずれかであり，また，これらの点に移動する確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．

(1)　最初から$1$秒後の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,t)$とする．$t-s=-1$となる確率を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が，最初から$6$秒後に直線$y=x$上にある確率を求めよ．

【４】　$p=2+\sqrt{5}$とおき，自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$a_n=p^n+{(-{\displaystyle \frac{1}{p}})}^n$

と定める．以下の問いに答えよ．ただし設問(1)は結論のみを書けばよい．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2$の値を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$とする．積$a_1{a}_n$を，$a_{n+1}$と$a_{n-1}$を用いて表せ．

(3)　$a_n$は自然数であることを示せ．

(4)　$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．

【１】　実数$a\text{，}b$に対して

$f(\theta )=\cos 3\theta +a\cos 2\theta +b\cos \theta$

とし，$0<\theta <\pi$で定義された関数

$g(\theta )={\displaystyle \frac{f(\theta )-f(0)}{\cos \theta -1}}$

を考える．

(1)　$f(\theta )$と$g(\theta )$を$x=\cos \theta$の整式で表せ．

(2)　$g(\theta )$が$0<\theta <\pi$の範囲で最小値$0$をとるための$a\text{，}b$についての条件を求めよ．また，条件をみたす$(a,b)$が描く図形を座標平面上に図示せよ．

【２】　座標平面上で$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．格子点上を次の規則に従って動く点$\mathrm{P}$を考える．

(a)　最初に，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にある．

(b)　ある時刻で点$\mathrm{P}$が格子点$(m,n)$にあるとき，その$1$秒後の点$\mathrm{P}$の位置は，隣接する格子点$(m+1,n)\text{，}(m,n+1)\text{，}(m-1,n)\text{，}(m,n-1)$のいずれかであり，また，これらの点に移動する確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．

(1)　点$\mathrm{P}$が，最初から$6$秒後に直線$y=x$上にある確率を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が，最初から$6$秒後に原点$\mathrm{O}$にある確率を求めよ．

【３】　複素数平面上の原点以外の点$z$に対して，$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$とする．

(1)　$\alpha$を$0$でない複素数とし，点$\alpha$と原点$\mathrm{O}$を結ぶ線分の垂直二等分線を$L$とする．点$z$が直線$L$上を動くとき，点$w$の軌跡は円から$1$点を覗いたものになる．この円の中心と半径を求めよ．

(2)　$1$の$3$乗根のうち，虚部が正であるものを$\beta$とする．点$\beta$と点${\beta }^2$を結ぶ線分上を点$z$が動くときの点$w$の軌跡を求め，複素数平面上に図示せよ．

【５】　$k$を実数とし，座標平面上で次の$2$つの放物線$C\text{，}D$の共通接線について考える．

$C\text{：}y=x^2+k$

$D\text{：}x=y^2+k$

(1)　直線$y=ax+b$が共通接線であるとき，$a$を用いて$k$と$b$を表せ．ただし$\alpha \ne -1$とする．

(2)　傾きが$2$の共通接線が存在するように$k$の値を定める．このとき，共通接線が$3$本存在することを示し，それらの傾きと$y$切片を求めよ．

【６】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内で，一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OPQ}$を動かす．また，点$\mathrm{A}(1,0,0)$に対して，$\angle \mathrm{AOP}$を$\theta$とおく．ただし$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$が$(0,0,1)$にあるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標がとりうる値の範囲と，$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が平面$x=0$上を動くとき，辺$\mathrm{OP}$が通過しうる範囲を$K$とする．$K$の体積を求めよ．