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2017-10264-0101
2017 東京学芸大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b を整数とし, f⁡( x)= x3+ a⁢x+ b とおく.方程式 f ⁡(x )=0 の解を α , β ,γ とする.このとき,下の問いに答えよ.
(1) α+β +γ=0 であることを示せ.
(2) α が無理数で
β= 12 ⁢ α3 -4 ,γ =1 2⁢ β 2-4
が成り立つとき, a ,b の値を求めよ.
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【2】 実数 s , t に対し, xy 平面上で直交する 2 直線 x +s⁢y -2=0 と t ⁢x+y -2=0 を考える.このとき,下の問いに答えよ.
(1) t を s の式で表せ.
(2) s の値が変化するとき, 2 直線の交点の軌跡を求め,図示せよ.
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【3】 整式 f1⁡ (x ), f2 ⁡( x) ,⋯ , fn ⁡(x ), ⋯ を
f1 ⁡(x )=x , fn +1⁡ (2⁢ x)= 2⁢fn ⁡( x)+ { fn⁡ (x) }2 ( n=1 ,2 , ⋯ )
で定義する.このとき,下の問いに答えよ.
(1) fn ′⁡( 0) ,f n″⁡ (0 ) を求めよ.
(2) x≧0 において不等式 fn⁡ (x) ≦fn -1⁡ (x ) ( n=1 ,2 , ⋯ ) が成り立つことを示せ.
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【4】 自然数 n に対し, 0<t <1 において関数 fn⁡ (t ) を
fn ⁡(t )= 1 2⁢t ⁢ ∫01 | xn-t | ⁢dx+ 12
(1) fn ⁡(t ) の最小値 a n を求めよ.
(2) limn →∞ an ⋅an +1⋅ ⋯⋅a 2⁢n -1 を求めよ.