2017　東京農工大学　後期工学部MathJax

【１】　$r$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は条件

$2^n{a}_n=n^2+{\displaystyle \sum _{k=1}^r}{2}^{k+n}{a}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められる．次の問いに答えよ．

[1]　$r=2$とする．$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の最大値を求めよ．また，そのときの$n$の値を求めよ．

[2]　$r=6$とする．数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x}(\cos x+\sqrt{3}\sin x)(-{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{7}{6}}\pi )$

で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

[1]　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値を与える$x$の値と最小値を与える$x$の値を求めよ．

[2]　方程式

$e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x}(1+\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x)=a\cos x$

が，$-{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{7}{6}}\pi$の区間で異なる$4$個の実数解をもつように，定数$a$の範囲を定めよ．