2017　東京工業大学　前期MathJax

【１】　次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をともに満たす正の整数$N$をすべて求めよ．

(ⅰ)　$N$の正の約数は$12$個．

(ⅱ)　$N$の正の約数を小さい方から順に並べたとき，$7$番目の数が$12$．

　ただし，$N$の約数には$1$と$N$も含める．

【２】　実数$x$の関数$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{|\sin t|}{1+{\sin }^{2}t}}dt$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$a$を$1$以上の実数とする．図のような長方形の折り紙$\mathrm{ABCD}$が机の上に置かれている．ただし$\mathrm{AD}=1\text{，}$$\mathrm{AB}=a$である．$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上の点とし，$\mathrm{AP}=x$とする．頂点$\mathrm{D}$を持ち上げて$\mathrm{P}$と一致するように折り紙を一回折ったとき，もとの長方形$\mathrm{ABCD}$からはみ出る部分の面積を$S$とする．

(1)　$S$を$a$と$x$で表せ．

(2)　$a=1$とする．$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，$S$を最大にするような$x$の値を求めよ．

　なお配布された白紙を自由に使ってよい．（白紙は回収しない．）

【４】　$n$は正の整数とし，文字$\mathrm{a}\text{，}\mathrm{b}\text{，}\mathrm{c}$を重複を許して$n$個並べてできる文字列すべての集合を${\mathrm{A}}_n$とする．${\mathrm{A}}_n$の要素に対し次の条件(＊)を考える．

(＊)　文字$\mathrm{c}$が$2$つ以上連続して現れない．

以下${\mathrm{A}}_n$から要素を一つ選ぶとき，どの要素も同じ確率で選ばれるとする．

(1)　${\mathrm{A}}_n$から要素を一つ選ぶとき，それが条件(＊)を満たす確率$P(n)$を求めよ．

(2)　$n\geqq 12$とする．${\mathrm{A}}_n$から要素を一つ選んだところ，これは条件(＊)を満たし，その$7$番目の文字は$\mathrm{c}$であった．このとき，この要素の$10$番目の文字が$\mathrm{c}$である確率を$Q(n)$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }Q(n)$を求めよ．

【５】　実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して$F(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1\text{，}$$f(x)=x^2+cx+1$とおく．また，複素数平面内の単位円周から$2$点$1\text{，}$$-1$を除いたものを$T$とする．

(1)　$f(x)=0$の解がすべて$T$上にあるための必要十分条件を$c$を用いて表せ．

(2)　$F(x)=0$の解がすべて$T$上にあるならば，

$F(x)=(x^2+c_{1}x+1)(x^2+c_{2}x+1)$

を満たす実数$c_1\text{，}{c}_2$が存在することを示せ．

(3)　$F(x)=0$の解がすべて$T$上にあるための必要十分条件を$a\text{，}$$b$を用いて表し，それを満たす点$(a,b)$の範囲を座標平面上に図示せよ．