2017　東京工業大学　第３類AO総合問題MathJax

　三つの政党（ A党，B党，C党）の党員から構成される議会において，ある議案を通すか否かの投票を行う．ただし，A党には$40$名，B党には$30$名，C党には$20$名が在籍している．各投票者は「賛成」か「反対」の$2$択で投票をする．この議会で議案が可決されるためには，「賛成」の票数が全体の過半数以上（全体の$50\mathrm{\%}$を超える票数），必要である．また，同じ党に所属している投票者は同じように投票する（例えば，A党全員が「賛成」または「反対」と投票する）と仮定し，以下では「政党が投票する」といった文言を用いる．

　「賛成」および「反対」の組み合わせに対し，ある政党が票を変えたとき（例えば，「賛成」から「反対」または「反対」から「賛成」），投票結果が「可決から否決に変わる」もしくは「否決から可決に変わる」とき，その政党がその投票の組み合わせに対しスウィングであると呼ぶ．例えば，A党が「賛成」，B党が「反対」，C党が「賛成」の場合は議案が可決されるが，A党が「反対」に変更すれば，議案が否決されるためA党はスウィングである．各政党は，等しい確率で「賛成」か「叩い」を独立に決定すると仮定する．

(1)　一つの投票の組合せをランダムに選ぶとき，その組合せに対してA党がスウィングになる確率，B党がスウィングになる確率，C党がスウィングになる確率をそれぞれ計算せよ．

(2)　A党がスウィングである投票の組合せの数，B党がスウィングである投票の組合せの数，C党がスウィングである投票の組合せの数は，それぞれ偶数である．その理由を下線部の例にならって簡潔に説明せよ．

　以下の問(3)〜(5)では，A党の中から$x$人が離党し，新しい政党D党を立ち上げたとする．D党も等しい確率で「賛成」または「反対」を他の政党と独立に決定すると仮定する．

(3)　$x=1$のとき，$1$つの投票の組合せをランダムに選ぶとき，A党がスウィングになる確率，B党がスウィングになる確率，C党がスウィングになる確率，およびD党がスウィングになる確率をそれぞれ計算せよ．

(4)　一つの投票の組合せをランダムに選ぶとき，A党がスウィングになる確率が$x=1$のときと比べて小さくなる際の$x$の最小値を求めよ．また，その理由を記述せよ．

(5)　さらにB党から$y$人離脱し，新しい政党E党を立ち上げたとする．また，E党も等しい確率で「賛成」または「反対」を他の政党と独立に決定すると仮定する．一つの投票の組合せをランダムに選ぶとき，五つの政党がスウィングになる確率が等しくなる$(x,y)$の組の中で$(x+y)$が最小になるものを一つ挙げよ．