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2017-10270-0101
2017 お茶の水女子大学 前期共通
文教育,生活科,理学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の条件によって定まる数列 { an } を考える.
a1 = 13 , an +1= 1 3-2 ⁢an ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
このとき,次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数 n に対し, an は 13 ≦a n< 12 を満たす有理数であることを示せ.
(2) 一般項 a n を an= p nqn (ただし, pn , qn は互いに素な自然数)と既約分数で表したとき, pn+ 1 を p n と q n で, qn+ 1 を p n と q n でそれぞれ表せ.
(3) 数列 { an } の一般項 a n を求めよ.
2017-10270-0102
文教育,生活科学部
理学部【2】の類題
【2】 さいころを n 回ふり, n 個の出た目の数をすべて掛け合わせた値を a n とする.次の問いに答えよ.
(1) an が素数となる確率を n を用いて表せ.
(2) an が 3 の倍数となる確率を n を用いて表せ.
(3) an を 6 で割った余りが 1 となる確率を n を用いて表せ.
(4) an< 10 となる確率を n =1 ,n= 2 のときに求め, n≧3 のときは n を用いて表せ.
2017-10270-0103
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【3】 関数 f ⁡(x )= x4+ a⁢x3 + b⁢x2 +x を考える.ここで, a ,b は実数とする.今,曲線 y =f⁡( x) が,ある直線 l に 2 点で接しており,その 2 つの接点の x 座標が - 1 と 1 であることがわかっている.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 定数 a , b の値と,直線 l の方程式を求めよ.
(2) 直線 l と同じ傾きを持ち,曲線 y =f⁡( x) と接する直線が l の他にもう 1 つある.その直線の方程式を求めよ.
(3) (2)で求めた直線と曲線 y =f⁡( x) とにより囲まれた領域のうち x 座標が 0 以上の部分の面積を求めよ.
2017-10270-0104
理(数,物理学科)学部
文教育,生活科学部【2】の類題
(4) an を 7 で割った余りが 1 となる確率は n の値によらず 16 であることを示せ.
(5) an< 10 となる確率を n =1 ,n= 2 のときに求め, n≧3 のときは n を用いて表せ.
2017-10270-0105
理(化,生物,情報学科)学部
【3】 曲線 y =x⁢ sin⁡x と曲線 y =x⁢ cos⁡x を考える. π 4≦x ≦ 54⁢ π の区間でこれらの 2 つの曲線に囲まれる領域が x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.
2017-10270-0106
理(数,物理学科)学部
【3】 f⁡( x)= 2-a⁢ x ,g⁡ (x) =|b⁢ x-2 | とする.ただし, a と b は 0 <a<b を満たす定数である.次の問いに答えよ.
(1) 不等式 f ⁡(x )-g ⁡(x )≧1 を満たす x が存在するための a と b の条件を求めよ.
(2) a と b は(1)で求めた条件を満たしているとする. x と y が
f⁡( x)- g⁡( x)≧ 1 ,f ⁡(x )≧y ≧g⁡ (x )
をともに満たす範囲を動くとき, x+y の最大値と最小値を求めよ.