2017　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　関数$f(\theta )\text{，}g(\theta )$を

$f(\theta )=(1+\cos \theta )\cos \theta \text{，}g(\theta )=(1+\cos \theta )\sin \theta$

と定義する．$xy$平面上の曲線$C$が，媒介変数$\theta$を用いて

$x=f(\theta )\text{，}y=g(\theta )\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

と表されるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$f^{\prime }(\theta )={\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}\text{，}{g}^{\prime }(\theta )={\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}$とする．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(\theta )$を求めよ．さらに，$0<\theta <\pi$の範囲で$f^{\prime }(\theta )=0$となる$\theta$の値を求めよ．

(ⅱ)　導関数$g^{\prime }(\theta )$を求めよ．さらに，$0<\theta <\pi$の範囲で$g^{\prime }(\theta )=0$となる$\theta$の値を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(f(\theta ),g(\theta ))$と原点$\mathrm{O}$の距離$r$を$\cos \theta$の式で表せ．

(ⅳ)　${\{f^{\prime }(\theta )\}}^2+{\{g^{\prime }(\theta )\}}^2$を$\cos \theta$の式で表せ．

(ⅴ)　曲線$C$の長さ$L$を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^3+3x^2-4}{x^2+1}}$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x$に関する方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．

(ⅱ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．さらに，$f^{\prime }(x)=0$となる実数$x$の値を求めよ．

(ⅲ)　関数$f(x)$の増減を調べ，その極値を求めよ．

(ⅳ)　$\theta$に関する方程式

${\sin }^3\theta +(3-m){\sin }^2\theta -4-m=0$

が，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲に$2$つの異なる解をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．

(ⅴ)　不等式$x\geqq 0$の表す座標平面上の領域において，曲線$y=f(x)\text{，}x$軸および$y$軸とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【３】　原点を中心とする半径$3$の球面を$S$とする．球面$S$上に点$\mathrm{P}(a,b,c)$を$a>0\text{，}b>0\text{，}c>0$となるようにとり，以下の条件をみたす直方体$T$を考える．

・直方体$T$は点$\mathrm{P}$を頂点のひとつにもつ．

・直方体$T$は球面$S$に内接する．

・直方体$T$の各辺は$x$軸，$y$軸，$z$軸のいずれかに平行である．

・直方体$T$の表面積は$64$である．

このとき，直方体$T$の$x$軸，$y$軸，$z$軸に平行な辺の長さは，それぞれ$2a\text{，}2b\text{，}2c$である．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$ab+bc+ca$と$a+b+c$の値をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　関数

$f(t)=t^3-(a+b+c)t^2+(ab+bc+ca)t$

の増減を調べ，その極値を求めよ．

(ⅲ)　直方体$T$の体積を$V$とする．式$(t-a)(t-b)(t-c)$を$f(t)$と$V$を用いて表せ．

(ⅳ)　体積$V$のとりうる値の範囲を求めよ．

(ⅴ)　体積$V$が最小となる点$\mathrm{P}(a,b,c)$のうちで，$a\leqq b\leqq c$をみたす点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　$a_1=1$とする．$n$を自然数とし，実数$a_n\text{，}{a}_{n+1}$に対して，次の

条件$(P_n)\text{：}(a_{n+1}+a_n)(3a_{n+1}+a_n+3)(2a_{n+1}-a_n-3)=0$

を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_2<0$のとき，条件$(P_1)$をみたす実数$a_2$をすべて求めよ．

(ⅱ)　$n\geqq 2$とし，$n-1$個の実数$a_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_{n-1}\text{，}{a}_n$が

$a_k>0\text{（}k=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$および　条件$(P_k)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

をすべてみたすとき，$a_n$を$n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$2$つの実数$a_n\text{，}{a}_{n+1}$が

$-3<a_n<3$および　条件$(P_n)$

をみたすとき，$-3<a_{n+1}<3$が成り立つことを示せ．

(ⅳ)　$3$つの実数$a_n\text{，}{a}_{n+1}\text{，}{a}_{n+2}$は

$0<a_n<3\text{，}{a}_{n+1}<0\text{，}{a}_{n+2}>0$および　条件$(P_n)\text{，}(P_{n+1})$

をすべてみたすとする．このとき，$a_{n+2}$のとりうるすべての値をそれぞれ$a_n$の式で表せ．

(ⅴ)　$49$個の実数$a_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_{49}\text{，}{a}_{50}$は，条件$(P_1)\text{，}(P_2)\text{，}\cdots \text{，}(P_{49})$をすべてみたすとする．さらに，$a_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_{49}\text{，}{a}_{50}$の中に，負の実数がただひとつ含まれるとき，$a_{50}$の最大値を求めよ．