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【3】 動点はいずれも次のつの規則に従って三角形の頂点を移動する.
(規則1) 時刻で頂点にあるとき,時刻で頂点にある確率はそれぞれである.
(規則2) 時刻で頂点にあるとき,時刻で頂点にある確率は,それぞれである.
(規則3) 時刻で頂点にあるとき,時刻で頂点にある確率は,それぞれである.
時刻で動点は頂点に,動点は頂点にあるとする.自然数に対し,時刻で動点が頂点にある確率を動点が頂点にある確率をそれぞれとする.このとき以下の問いに答えよ.
(ⅰ) を求めよ.
(ⅱ) をを用いて表し,をの式で表せ.
(ⅲ) をの式で表せ.
(ⅳ) およびをの式で表せ.
(ⅴ) 動点が時刻で同じ頂点にある確率をの式で表せ.
【4】 辺の長さがの正三角形を考え,各頂点を中心とする半径のつの円弧で囲まれた図形をとする(図1).座標平面上で,初め図形は頂点が原点,頂点がとなる位置にある(図2のア).そこから図形が軸に接しながら,すべることなく右側へ転がるとする.ただし,図形の頂点が軸上にある間は,その頂点を中心として回転するものとする(図2のイ).軸の正の向きからまで測った角をとするとき,以下の問いに答えよ.
まず,の範囲で考える(図3).
(ⅰ) 弧と軸との接点および頂点の座標を,それぞれを用いて表せ.
(ⅱ) この範囲で頂点が描く図形の長さを求めよ.
(ⅲ) 頂点の座標をを用いて表せ.
(ⅳ) この範囲で頂点が描く図形の長さを求めよ.
さらに,図形が(図2のウ)となるまで転がるとする.
(ⅴ) の範囲で頂点が描く図形の長さを求めよ.
(ⅵ) の範囲で頂点が描く図形の長さを求めよ.
図1 |
図2 |
図3 |