2017　電気通信大学　後期MathJax

$f(x)=4\sin 2x-3\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅲ)　連立不等式$0\leqq y\leqq f(x)\text{，}0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の表す領域を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．

(ⅳ)　三角関数の公式$1+{\tan }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$を用いて，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\tan }^{2}xdx$の値を求めよ．

(ⅴ)　図形$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

(ⅰ)　$x$を実数とし，$t$を変数とする関数$f(t)=e^t-xt$の$t\geqq 0$における最小値を$g(x)$とおく．

ⓐ　$x\leqq 1$のとき$g(x)=1$となることを示せ．

ⓑ　$x>1$のとき$g(x)$を求め，$x>1$での関数$g(x)$の増減を調べよ．

(ⅱ)　不定積分${\displaystyle \int }x\log xdx\text{，}{\displaystyle \int }{x}^2\log xdx$を求めよ．

(ⅲ)　次の条件

「すべての実数$t\geqq 0$に対して，$y\leqq e^t-xt$が成り立つ」

を満たす点$(x,y)$全体からなる領域を$A$とし，連立不等式$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$の表す領域と$A$との共通部分を$B$とする．

ⓒ　図形$B$の面積$S$を求めよ．

ⓓ　図形$B$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

(規則１)　時刻$k$で頂点$\mathrm{A}$にあるとき，時刻$k+1$で頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にある確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{8}}$である．

(規則２)　時刻$k$で頂点$\mathrm{B}$にあるとき，時刻$k+1$で頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にある確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}$である．

(規則３)　時刻$k$で頂点$\mathrm{C}$にあるとき，時刻$k+1$で頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にある確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

時刻$0$で動点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，動点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にあるとする．自然数$n$に対し，時刻$n$で動点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を$p_n\text{，}$動点$\mathrm{Q}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にある確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$p_1\text{，}{a}_1\text{，}{b}_1\text{，}{c}_1$を求めよ．

(ⅱ)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表し，$p_n$を$n$の式で表せ．

(ⅲ)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(ⅳ)　$b_n+c_n$および$b_n-c_n$を$n$の式で表せ．

(ⅴ)　動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が時刻$n$で同じ頂点にある確率$s_n$を$n$の式で表せ．

　まず，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の範囲で考える（図３）．

(ⅰ)　弧$\mathrm{BC}$と$x$軸との接点および頂点$\mathrm{A}$の座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　この範囲で頂点$\mathrm{A}$が描く図形の長さ$L_1$を求めよ．

(ⅲ)　頂点$\mathrm{B}$の座標$(x,y)$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅳ)　この範囲で頂点$\mathrm{B}$が描く図形の長さ$L_2$を求めよ．

　さらに，図形$R$が$\theta =\pi$（図２のウ）となるまで転がるとする．

(ⅴ)　${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$の範囲で頂点$\mathrm{B}$が描く図形の長さ$L_3$を求めよ．

(ⅵ)　$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で頂点$\mathrm{B}$が描く図形の長さ$L$を求めよ．

図１	図２	図３