2017　一橋大学　前期MathJax

【１】　実数$a\text{，}b$は$a\geqq 1\text{，}b\geqq 1\text{，}a+b=9$を満たす．

(1)　${\log }_{3}a+{\log }_{3}b$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　${\log }_{2}a+{\log }_{4}b$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　連立方程式

$\{\begin{array}{l}{x}^2=yz+7\\ y^2=zx+7\\ z^2=xy+7\end{array}$

を満たす整数の組$(x,y,z)$で$x\leqq y\leqq z$となるものを求めよ．

【３】　$P(0)=1\text{，}P(x+1)-P(x)=2x$を満たす整式$P(x)$を求めよ．

【４】　正の実数$a\text{，}b\text{，}c$は$a+b+c=1$を満たす．連立不等式

$|ax+by|\leqq 1\text{，}|cx-by|\leqq 1$

の表す$xy$平面の領域を$D$とする．$D$の面積の最小値を求めよ．

【５】　$xy$平面上の直線$x=y+1$を$k\text{，}yz$平面上の直線$y=z+1$を$l\text{，}xz$平面上の直線$z=x+1$を$m$とする．直線$k$上に点${\mathrm{P}}_1(1,0,0)$をとる．$l$上の点${\mathrm{P}}_2$を${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\perp l$となるように定め，$m$上の点${\mathrm{P}}_3$を${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\perp m$となるように定め，$k$上の点${\mathrm{P}}_4$を${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4\perp k$となるように定める．以下，同様の手順で$l\text{，}k\text{，}m\text{，}l\text{，}k\text{，}m\text{，}\cdots$上の点${\mathrm{P}}_5\text{，}{\mathrm{P}}_6\text{，}{\mathrm{P}}_7\text{，}{\mathrm{P}}_8\text{，}{\mathrm{P}}_9\text{，}{\mathrm{P}}_{10}\text{，}\cdots$を定める．

(1)　点${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$の座標を求めよ．

(2)　線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の長さを$n$を用いて表せ．