2017　東京海洋大学　前期海洋生命科，海洋資源環境学部MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)=x^3+x^2-x+3$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}(-2,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3)\text{，}\mathrm{C}(p,f(p))$（ただし，$-2<p<0$）を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S(p)$が最大になるときの$p$の値を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$（ただし，$a>0$）が$x=1$で最小値をとり，${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=10\text{，}{\displaystyle {\int }_1^2}x{f}^{\prime }(x)dx=30$を満たすとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^n}(3x^2+kx+1)dx>0$がすべての自然数$n$に対して成り立つような実数$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された関数

$f(\theta )={\log }_3(\sin \theta )+{\log }_3(\cos \theta )\text{，}g(\theta )={\log }_9(\sin \theta )+{\log }_3(\cos \theta )$

について次の問に答えよ．

(1)　$f(\theta )$の最大値$L$を求めよ．

(2)　$g(\theta )$の最大値$M$を求めよ．

(3)　$L$と$M$の大小関係を不等号を用いて表せ．

【４】　空間の$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,2\sqrt{3},1)\text{，}\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$について次の問に答えよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)　$\cos \angle \mathrm{AOP}$を$\theta$で表せ．

(2)　三角形$\mathrm{AOP}$の面積$S(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【５】　次の$2$つの条件(ア)，(イ)を満たす$n$桁の自然数の個数を$a_n$とする．

(ア)　各位の数が$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$のいずれかである．

(イ)　各位の数の和が$3$の倍数である．

例えば，$315$は条件(ア)，(イ)を満たす$3$桁の自然数であり，また，$42234$は条件(ア)，(イ)を満たす$5$桁の自然数である．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 1$のとき，$a_{n+1}$を$a_n$と$n$で表せ．

(3)　条件(ア)を満たす$n$桁の自然数の個数を$b_n$とし，$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．