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2017-10280-0201
2017 東京海洋大学 前期海洋工学部
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 四面体 OABC において, OA=BC =6 , OB=OC =AB=AC =5 であるとする.また, OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とおく.
(1) 内積 a→⋅ b→ , b→ ⋅c→ , c→ ⋅a→ の値を求めよ.
(2) 点 O から平面 ABC に垂線 OH を下ろす. OH→ を a→ , b→ ,c → を用いて表せ.
(3) 四面体 OABC の体積を求めよ.
2017-10280-0202
【2】 a は定数で a >1 とする. x の 2 次方程式
x2 -2⁢ at⁢ x+a= 0
が a より小さい 2 つの異なる実数解を持つような実数 t の値の範囲を求めよ.
2017-10280-0203
【3】 座標平面上に曲線 C :y= 16 ⁢ x3- x がある.点 ( -36,0 ) を通り,傾きが - 1 の直線を l とし, C と l の交点を P とする.
(1) P の座標を求めよ.
(2) P を通り, P 以外の点で C と接する直線 m の方程式を求めよ.
(3) C と m で囲まれる図形の面積を求めよ.
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【4-Ⅰ】と 【4-Ⅱ】から選択
【4-Ⅰ】 座標平面上で連立不等式
y≦- x2+ 4⁢x- 3 ,x+ y≦3 , y≧0
が表す領域を D とする.
(1) D の面積を求めよ.
(2) 直線 y =m⁢x と D が共有点をただ 1 つ持つとする.このとき, m の値を求めよ.
(3) a は定数で a ≧0 とする.点 ( x,y ) が D を動くとき, x -ax の最大値を a を用いて表せ.
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【4-Ⅱ】 0≦x ≦ π2 において,曲線 C1 :y=sin ⁡2⁢x と曲線 C2: y=k⁢ cos⁡x を考える.ただし, k は定数とする. C1 と C 2 は点 ( π 2, 0) 以外の点でも交わるとし,その x 座標を α とする.
(1) C1 と x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
(2) sin⁡α を k を用いて表せ.また, k の値の範囲を求めよ.
(3) C1 と C 2 で囲まれた図形の面積を k を用いて表せ.
(4) C2 が S を 2 等分するとき, k の値を求めよ.