2017　東京海洋大学　前期海洋工学部MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=\sqrt{6}\text{，}\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{5}$であるとする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【２】　$a$は定数で$a>1$とする．$x$の$2$次方程式

$x^2-2a^{t}x+a=0$

が$a$より小さい$2$つの異なる実数解を持つような実数$t$の値の範囲を求めよ．

【３】　座標平面上に曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3-x$がある．点$(-36,0)$を通り，傾きが$-1$の直線を$l$とし，$C$と$l$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$以外の点で$C$と接する直線$m$の方程式を求めよ．

(3)　$C$と$m$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４-Ⅰ】　座標平面上で連立不等式

$y\leqq -x^2+4x-3\text{，}x+y\leqq 3\text{，}y\geqq 0$

が表す領域を$D$とする．

(1)　$D$の面積を求めよ．

(2)　直線$y=mx$と$D$が共有点をただ$1$つ持つとする．このとき，$m$の値を求めよ．

(3)　$a$は定数で$a\geqq 0$とする．点$(x,y)$が$D$を動くとき，${\displaystyle \frac{x-a}{x}}$の最大値を$a$を用いて表せ．

【４-Ⅱ】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，曲線$C_1\text{：}y=\sin 2x$と曲線$C_2\text{：}y=k\cos x$を考える．ただし，$k$は定数とする．$C_1$と$C_2$は点$({\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)$以外の点でも交わるとし，その$x$座標を$\alpha$とする．

(1)　$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(2)　$\sin \alpha$を$k$を用いて表せ．また，$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$k$を用いて表せ．

(4)　$C_2$が$S$を$2$等分するとき，$k$の値を求めよ．