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2017 横浜国立大学 前期

経済学部

易□ 並□ 難□

【1】  x がすべての実数を動くとき,次の関数のとり得る値の範囲を求めよ.

(1)  f( x)= sinx- cosx

(2)  g( x)= 2 |sin 3x- cos3 x|+sin xcos x+sin x-cosx

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経済学部

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【2】  a を正の整数とし, b を整数とする. x についての方程式

a2 x3+ ab x2- b2 x-5= 0

は異なる 3 つの実数解をもち, 1 つの解が整数で,残り 2 つの解の積が整数である. a b の組をすべて求めよ.

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経済,理工,都市科学部

理工,都市科学部は【2】

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2017年横浜国立大前期経済学部【3】2017103010103の図

【3】 円卓に A B C D E F 6 人が右の図のように座っており,さいころが 1 個ある.

このとき,次の試行(*)を繰り返し,得点を獲得していくゲームを考える.ただし,ゲーム開始時は, A がさいころを持っており,各自の持ち点は 0 点であるとする.

(*) さいころを持っている人が,そのさいころを 1 回投げて出た目を k とする.このとき,投げた人から時計回りに k 人目の人がさいころを受け取り,さいころを受け取った人の持ち点に k 点が加算される.

たとえば, A がさいころを投げて 5 の目が出た場合は, F がさいころを受け取り, F の持ち点に 5 点が加算される.

 試行(*)を 4 回繰り返してゲームを終了する.次の問いに答えよ.

(1) ゲーム終了時に A の持ち点が 0 点である確率を求めよ.

(2) ゲーム終了時に A の持ち点が 5 点である確率を求めよ.

(3) ゲーム終了時に A の持ち点が 5 点であるとき, E の持ち点が 3 点である条件付き確率を求めよ.

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理工,都市科学部

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【1】 次の問いに答えよ.

(1) 関数 f (x )=( 3-x) ex について,関数の増減,極値,グラフの凹凸を調べ, y=f (x ) のグラフの概形をかけ.ただし, limx x ex =0 は証明なしで用いてよい.

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理工,都市科学部

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【1】 次の問いに答えよ.

(2) 定積分

0π2 dx3 sinx +4cos x

を求めよ.

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【3】 空間に 2 つの定点 O A があり, |OA | =2 をみたしている.また, 2 P Q は次の条件をみたしながら動く.

|OP | 5 OP OA =6

|OQ | =5 OQ OA =-2

ただし, OP OA OP OA の内積を表す.次の問いに答えよ.

(1)  |OP | の最小値を求めよ.

(2)  |PQ | のとり得る値の範囲を求めよ.

(3) 線分 PQ が通過してできる部分の体積を求めよ.

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理工,都市科学部

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【4】 数列 { an } {b n} は以下の条件をみたす.

(ⅰ)  a1 =1 a n0 n=2 3 4

(ⅱ)  n=1 2 3 に対して, bn 1an より大きい最小の自然数である.

(ⅲ)  n=1 2 3 に対して, an+ 1= an- 1 bn が成り立つ.

次の問いに答えよ.

(1)  b1 a2 b2 a3 b3 を求めよ.

(2)  b1 b2 bn an+ 1 n= 1 2 3 を求めよ.

(3)  limn k=1 n 1bk を求めよ.

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【5】 正の実数 a b に対して,連立不等式

{ x0 y x2 a2 x2 -( y-b) 20

が表す x y 平面上の領域の面積を S とする.次の問いに答えよ.

(1)  S a b の式で表せ.

(2)  a b

a24 + 4b 29 =1 a b> 0

をみたしながら動くとき, S の最大値およびそのときの a b の値を求めよ.

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