2017　新潟大学　前期MathJax

【１】　式の展開に関する次の問いに答えよ．

(1)　${(1+x+y)}^6$の展開式における$x^2{y}^3$の項の係数を求めよ．

(2)　${(1+x+xy)}^8$の展開式における$x^5{y}^3$の項の係数を求めよ．

(3)　${(1+x+xy+x{y}^2)}^{10}$の展開式における$x^8{y}^{13}$の項の係数を求めよ．

【２】　座標空間内の次のような$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を考える．$\mathrm{A}$の座標は$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})\text{，}3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は，それぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にある．さらに，これらの$4$点は同一平面上にあり，四角形$\mathrm{ABCD}$は平行四辺形である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

(3)　原点$\mathrm{O}$から平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【３】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{3a_n+1}{a_n+3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

(3)　不等式$a_n>1-{10}^{-18}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【４】　座標平面上の放物線$y=-a{x}^2+b$を$C$とし，$\mathrm{P}(1,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,2)$とする．ただし，$a>0\text{，}0<b<2$とする．放物線$C$は，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線に接している．放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$を$b$で表せ．

(2)　$S$を$b$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{S}{\sqrt{b}}}$が最大になるように$b$の値を定めよ．

【４】　$t$は，$t>{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす実数とする．座標平面上に楕円$x^2+4y^2=1$が与えられている．点$\mathrm{P}(-1,-t)$からこの楕円に引いた接線のうちで$y$軸と平行でない接線を$l\text{，}$その接点を$\mathrm{Q}(a,b)$とする．また，$x$軸，$y$軸および接線$l$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}(a,b)$における接線$l$の方程式は，$ax+4by=1$であることを示せ．

(2)　$a\text{，}b$を，それぞれ$t$を用いて表せ．

(3)　面積$S(t)$を，$t$を用いて表せ．

(4)　極限$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(t)}{t}}$を求めよ．

【５】　$f(x)=x{e}^{1-x^2}$とする．$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=x^k$で囲まれた部分の面積を$S_k$とする．ただし，$k$は自然数とする．次の問いに答えよ．必要があれば

$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x^2}=0$

が成り立つことを用いてよい．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の極値，グラフの凹凸と変曲点，および漸近線を求め，グラフの概形をかけ．

(3)　$S_k$を，$k$を用いて表せ．

(4)　次の条件(＊)を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

(＊)　すべての自然数$m$に対して，$4S_{2n-1}>7S_{2m}$が成り立つ．