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2017-10321-0201
2017 新潟大学 推薦理学部数学プログラム
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) x= 5+ 12 とするとき, (x+ 1 x) 4 の値を求めよ.
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(2) 方程式 log2⁡ (3 x+2 +5) -log2 ⁡( 3x+ 4)= 3 を解け.
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(3) 2 ,2 , 2 ,2 , 3 ,3 , 5 の 7 個の数字全部を 1 列に並べてできる 7 桁の整数の個数を求めよ.
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(4) a ,b を実数とする.次の命題(ⅰ),(ⅱ)の真偽をそれぞれ調べ,真である場合には証明し,偽である場合には判例をあげよ.
(ⅰ) a ,b の少なくとも一方が無理数であるならば, a+b , a-b の少なくとも一方は無理数である.
(ⅱ) a ,b がともに正の無理数であるならば, a+b , a⁢b の少なくとも一方は無理数である.
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【2】 ▵OAB において, OA=4 , OA→ ⋅OB →= 5 2 とする.辺 AB を 2 :1 の比に内分する点を C とし,点 C から直線 OA に下ろした垂線と直線 OA の交点を D とする. OA→ =a→ , OB→ =b→ とするとき,次の問いに答えよ.
(1) OC→ を a→ , b→ を用いて表せ.
(2) CD→ を a→ , b→ を用いて表せ.
(3) OB=5 のとき, ▵ACD の面積を求めよ.
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【3】 a を正の実数とする.関数
f⁡( x)= (a- x) 21- x2 ( 0<x< 1 )
について,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) を求めよ.
(2) a≠0 のとき, f⁡( x) の最小値を求めよ.
(3) a= 12 のとき, y=f⁡ (x ) のグラフをかけ.
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【4】 次の問いに答えよ.
(1) 数列 { an } を a1=5 , an +1= 3 ⁢an -4 an-1 で定める.数列 { bn } を bn= an+ α で定め, bn +1= b nb n+β を満たすような整数 α , β を求めることにより,数列 { an } の一般項を求めよ.
(2) 数列 { xn } を x1= -2 ,x n+1 = -2⁢ xn+ 1xn -2 で定める.数列 { yn } を yn= xn+ γx n-γ で定め, { yn } が等比数列となるような整数 γ を 2 つ求めることにより,数列 { xn } の一般項を求めよ.