2017　新潟大学　推薦理学部数学プログラムMathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$とするとき，${(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^4$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　方程式${\log }_2(3^{x+2}+5)-{\log }_2(3^x+4)=3$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$2\text{，}2\text{，}2\text{，}2\text{，}3\text{，}3\text{，}5$の$7$個の数字全部を$1$列に並べてできる$7$桁の整数の個数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$a\text{，}b$を実数とする．次の命題(ⅰ)，(ⅱ)の真偽をそれぞれ調べ，真である場合には証明し，偽である場合には判例をあげよ．

(ⅰ)　$a\text{，}b$の少なくとも一方が無理数であるならば，$a+b\text{，}a-b$の少なくとも一方は無理数である．

(ⅱ)　$a\text{，}b$がともに正の無理数であるならば，$a+b\text{，}ab$の少なくとも一方は無理数である．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$とする．辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$とし，点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{OB}=5$のとき，$▵\mathrm{ACD}$の面積を求めよ．

【３】　$a$を正の実数とする．関数

$f(x)={\displaystyle \frac{{(a-x)}^2}{1-x^2}}\text{（}0<x<1\text{）}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$a\ne 0$のとき，$f(x)$の最小値を求めよ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$y=f(x)$のグラフをかけ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$を$a_1=5\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{3a_n-4}{a_n-1}}$で定める．数列$\{b_n\}$を$b_n=a_n+\alpha$で定め，$b_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n}{b_n+\beta }}$を満たすような整数$\alpha \text{，}\beta$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{x_n\}$を$x_1=-2\text{，}{x}_{n+1}={\displaystyle \frac{-2x_n+1}{x_n-2}}$で定める．数列$\{y_n\}$を$y_n={\displaystyle \frac{x_n+\gamma }{x_n-\gamma }}$で定め，$\{y_n\}$が等比数列となるような整数$\gamma$を$2$つ求めることにより，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．