2017　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$枚の硬貨を繰り返し投げ，$2$回続けて表が出るか，$2$回続けて裏が出れば終了とする．$p_n$を，$n$回投げて終了し，かつ最初と最後が表である確率とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)　$p_4$と$p_5$を求めなさい．

(2)　$p_n$を求めなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }}{p}_n$を求めなさい．

【２】　原点を$\mathrm{O}(0,0)$とする$xy$平面に，$3$点$\mathrm{P}(a,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,b)\text{，}\mathrm{R}(x,y)$がある．ただし，$0<a<1\text{，}0<b<1\text{，}0<x<1\text{，}0<y<1\text{，}{x}^2+y^2=1$とする．また，四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$S$を$a\text{，}b\text{，}x\text{，}y$で表しなさい．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を固定し，$\mathrm{R}$が動くときの$S$の最大値を$a\text{，}b$で表しなさい．

【３】　$xy$平面に，互いに異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{OB}$は垂直であるとする．また，$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{h}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}\text{，}$$a=\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$b=\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$h=\left|\overrightarrow{h}\right|\text{，}$$\overrightarrow{k}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{a^2}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}}{b^2}}$とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{k}$は直線$\mathrm{AB}$に垂直であることを示しなさい．

(2)　$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$a\text{，}$$b$で表しなさい．

(3)　等式${\displaystyle \frac{1}{h^2}}={\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}$を示しなさい．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．下の問いに答えなさい．

(1)　$k$を自然数とする．$k<x<k+1$のとき，$\log k<\log x<\log (k+1)$が成り立つことを利用して，不等式$\log k<{\displaystyle {\int }_k^{k+1}}\log xdx<\log (k+1)$を示しなさい．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }\log xdx$を求めなさい．

(3)　不等式$\log ((n-1)!)<n\log n-n+1<\log (n!)$を示しなさい．

(4)　不等式$n^n{e}^{-n+1}<n!<{(n+1)}^{n+1}{e}^{-n}$を示しなさい．