2017　富山大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$について，次の条件(ア)，(イ)が同値であることを示せ．

(ア)　$n$が整数ならば$f(n)$も整数である．

(イ)　$f(0)$が整数であり，かつ，すべての整数$n$について$f(n+1)-f(n)$も整数である．

(2)　素数$p\text{，}$整数$q$に対して，関数$f(x)$を次のように定める．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{p}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{q}}x$

このとき，条件「$n$が$3$の倍数のとき，$f(n)$も$3$の倍数である」をみたすような$p\text{，}q$の組$(p,q)$をすべて求めよ．

【２】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}+1\text{，}\angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とし，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$\sqrt{2}$とする．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\cos \angle \mathrm{ACB}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ACD}$の面積を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数とし，関数$f(x)$が等式

$f(x)=x^2+\left|b\right|x+{\displaystyle {\int }_{-a}^a}tf(t)dt$

をみたすとする．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-a}^a}tf(t)dt$の値を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　方程式$f(x)=0$が実数解をもつための条件を$a\text{，}b$を用いて表し，この条件をみたす点$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

【１】　実数全体で定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．

(3)　$a>0$とするとき，極限

$\underset{x\to \infty }{\lim }\{f^{-1}(af(x))-x\}$

を求めよ．

(4)　$a>0$とするとき，極限

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\{f^{-1}(af(x))-x\}$

を求めよ．

【２】　$-2\leqq t\leqq 2$とし，$x$に関する方程式$x^3-3x=t$の解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{（}\alpha \geqq \beta \geqq \gamma \text{）}$とする．

(1)　$\beta \text{，}\gamma$を$\alpha$を用いて表せ．ただし，$t$を用いてはならない．

(2)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を$t$の関数と考えて，定積分${\displaystyle {\int }_{-2}^2}{\displaystyle \frac{\beta \gamma }{\alpha }}dt$の値を求めよ．

【３】　次の関数$f(x)\text{，}g(x)$に対して，以下の問いに答えよ．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\log x& \text{（}x>0\text{）}\\ 0& \text{（}x\leqq 0\text{）}\end{array}\text{，}g(x)=x(x-1)$

(1)　$f(x)$が最小となるような$x$の値$a\text{，}$および$f(a)$の値を求めよ．

(2)　曲線$f(x)$と曲線$y=g(x)$は，ちょうど$2$つの共有点をもつことを示せ．

(3)　(1)の$a$について，曲線$y=f(x)\text{，}$曲線$y=g(x)$で囲まれた図形のうち，$x\geqq a$の部分を$D$とする．$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$の値を求めよ．

【１】　$a>0$とするとき，定積分

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}a}^{\frac{\sqrt{3}}{2}a}}{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}}dx$

を求めよ．

【３】　実数全体で定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

(3)　$y=f(x)$のとき，$2^x$を$y$を用いて表せ．

(4)　$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．

(5)　$a>0$とするとき，極限

$\underset{x\to \infty }{\lim }\{f^{-1}(af(x))-x\}$

を求めよ．