2017　富山大学　後期理学部数学科MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2\sqrt{1-x}dx$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の関数を考える．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+a{x}^2+(a+b)x+a+b+2& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ x^2+cx+c& \text{（}x<0\text{）}\end{array}$

$f(x)$が$x=0$で微分可能となるような実数$a\text{，}b\text{，}c$は存在するかどうかを調べよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　空間の$\overrightarrow{0}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$$\text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}\text{）}$とするとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta$

で定義する．このとき，$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$に対して，

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

が成り立つことを示せ．

【２】　有理数を係数とする$x$の$3$次方程式

$x^3+a{x}^2+bx+c=0$

が$1-\sqrt{3}$を解にもつとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1+\sqrt{3}$もこの方程式の解であることを示せ．

(2)　$a^2+b^2+c^2=8$のとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値と残りの解を求めよ．

【３】　$\alpha \text{，}\beta$をそれぞれ$\alpha >0\text{，}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．関数$f(x)=x\cos (\alpha x+\beta )$が$x=\pi$において極値${\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{2}}}$をとるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$\beta$の値を求め，$f(x)$の極値${\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{2}}}$が極大値であるか，極小値であるかを調べよ．

(3)　曲線$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と$x$軸，および直線$x=\pi$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．