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2017 金沢大学 前期 理工,医薬保健学域

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1)  z6 +27=0 を満たす複素数 z をすべて求め,それらを表す点を複素数平面上に図示せよ.

(2) (1)で求めた複素数 z を偏角が小さい方から順に z1 z 2 とするとき, z1 z2 と積 z1 z2 を表す 3 点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ.ただし,偏角は 0 以上 2 π 未満とする.

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【2】 座標平面上の放物線 y =x2 上に点 P ( t,t2 ) t>0 をとる.原点 O ( 0,0 ) を通り,直線 OP に垂直な直線を l とする.また, 0<a 1 として,点 A ( 0,a ) をとる.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 直線 PA l は交わることを示し,その交点 Q ( u,v ) の座標を t a を用いて表せ.

(2)  t がすべての正の実数値をとって変化するとき,(1)で求めた点 Q ( u,v ) の軌跡が (- 1 3 ,1 ) を通るとする.このとき,定数 a の値を求め,点 Q ( u,v ) の軌跡を求めよ.

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【3】  0<a <3 とし, 0x π の範囲で 2 つの関数

f( x)= 3-a sinx g( x)= 2cos 2x

を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  f( x) g( x) 0x π となる a の値の範囲を求めよ.

(2)  2 つの曲線 C1 y=f (x ) C2 y=g (x ) が,ちょうど 2 つの共有点をもつとき,共有点の x 座標 x1 x 2 x1< x2 a の値を求めよ.また,そのときの C 1 C 2 の概形を同一座標平面上にかけ.

(3) (2)のとき, C1 C 2 で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

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【4】 数列 { an }

a1 =3 a n+1 = 12 ( an+ 7 an ) n=1 2 3

で定める.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  an >7 n=1 2 3 が成り立つことを示せ.

(2) 数列 { bn }

bn = an- 7 an +7 n=1 2 3

で定めるとき, bn +1= bn 2 n=1 2 3 が成り立つことを示せ.

(3)  limn an limn 2 -n log (an -7 ) を求めよ.

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