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2017-10361-0201
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2017 金沢大学 前期 理工,医薬保健学域
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) z6 +27=0 を満たす複素数 z をすべて求め,それらを表す点を複素数平面上に図示せよ.
(2) (1)で求めた複素数 z を偏角が小さい方から順に z1 ,z 2 ,⋯ とするとき, z1 , z2 と積 z1⁢ z2 を表す 3 点が複素数平面上で一直線上にあることを示せ.ただし,偏角は 0 以上 2 ⁢π 未満とする.
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【2】 座標平面上の放物線 y =x2 上に点 P ( t,t2 ) ( t>0 ) をとる.原点 O ( 0,0 ) を通り,直線 OP に垂直な直線を l とする.また, 0<a ≦1 として,点 A ( 0,a ) をとる.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 直線 PA と l は交わることを示し,その交点 Q ( u,v ) の座標を t と a を用いて表せ.
(2) t がすべての正の実数値をとって変化するとき,(1)で求めた点 Q ( u,v ) の軌跡が (- 1 3 ,1 ) を通るとする.このとき,定数 a の値を求め,点 Q ( u,v ) の軌跡を求めよ.
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【3】 0<a <3 とし, 0≦x ≦π の範囲で 2 つの関数
f⁡( x)= 3-a⁢ sin⁡x , g⁡( x)= 2⁢cos 2⁡x
を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x)≧ g⁡( x) ( 0≦x≦ π ) となる a の値の範囲を求めよ.
(2) 2 つの曲線 C1: y=f⁡ (x ) と C2: y=g⁡ (x ) が,ちょうど 2 つの共有点をもつとき,共有点の x 座標 x1 ,x 2 ( x1< x2 ) と a の値を求めよ.また,そのときの C 1 と C 2 の概形を同一座標平面上にかけ.
(3) (2)のとき, C1 と C 2 で囲まれた図形の面積 S を求めよ.
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【4】 数列 { an } を
a1 =3 ,a n+1 = 12 ⁢( an+ 7 an ) ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ )
で定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1) an >7 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) が成り立つことを示せ.
(2) 数列 { bn } を
bn = an- 7 an +7 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
で定めるとき, bn +1= bn 2 ( n=1 ,2 , 3 , ⋯ ) が成り立つことを示せ.
(3) limn →∞ an と limn→ ∞2 -n ⁢log⁡ (an -7 ) を求めよ.