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2017-10381-0101
2017 福井大学 前期
教育,国際地域科学部
易□ 並□ 難□
【1】 1 個のさいころを 2 回投げ, 1 回目に出た目を a , 2 回目に出た目を b とする. N=2 a⁢3 b とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) N が 504 の約数となる確率を求めよ.
(2) N の正の約数の個数が 12 となる確率を求めよ.
(3) N の正の約数の和が 3 の倍数となる確率を求めよ.
2017-10381-0102
【2】 an= [log 3⁡n ] により定義される数列 { an } に対して, S⁡( n)= ∑ i=1 na i とおく.このとき,以下の問いに答えよ.ただし, [a ] は a を超えない最大の整数を表す.
(1) k を 0 以上の整数とするとき, an =k を満たす n の個数を k の式で表せ.
(2) m を正の整数とするとき, S⁡( 3m- 1) を m の式で表せ.
(3) S⁡( n)= 2017 となる n の値を求めよ.
2017-10381-0103
【3】 四面体 OABC において, OA→ , OB→ , OC→ をそれぞれ a→ , b→ , c→ と表す. 0<s <1 , 0 <t<1 を満たす実数 s , t に対して,線分 AB を t :(1 -t) に内分する点を D , 線分 CD を s :(1 -s) に内分する点を E , 線分 OE を t :(1 -t) に内分する点を F とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) OF→ を s , t , a → , b → , c → を用いて表せ.
(2) 直線 AF が三角形 OBC と交わる点を G とするとき, AF AG の値を求めよ.
(3) 直線 AF が三角形 OBC の重心を通るとき, s , t の値を求めよ.
(4) | a→ |=1 , | c→ |=2 , a→ ⋅b →= b→⋅ c→ =c→ ⋅a →= 14 とする.直線 BF が 3 点 O , A , C を通る平面と垂直であるとき, s , t の値を求めよ.
2017-10381-0104
教育,工学部
教育学部は【4】と【5】から1題選択,工学部は必須
【4】 2 つの曲線 C1: y=sin⁡ x と C2: y=sin⁡ (x- θ) について以下の問いに答えよ.ただし, 0<θ <π とする.
(1) C1 , C2 の交点の x 座標をすべて求めよ.
(2) C1 , C2 の交点の x 座標のうち,負の範囲で最大の値を α , 正の範囲で最小の値を β とおく. α≦ x≦β の範囲で, 2 つの曲線 C1 ,C2 で囲まれた図形を, x 軸の周りに 1 回転させて得られる立体の体積 V ⁡(θ ) を求めよ.
(3) (2)で得られた V ⁡(θ ) が最大となる θ の値を θ 0 とするとき, cos⁡θ 0 の値を求めよ.
2017-10381-0105
教育学部は【4】と【5】から1題選択.国際地域科学部は必須
【5】 f⁡( a)= ∫ -11 | x3- x2- a2⁢x +a2 | ⁢dx とおくとき,以下の問いに答えよ.ただし, a≧0 とする.
(1) x3 -x2 -a2 ⁢x+a 2=0 となる x を求めよ.
(2) f⁡( a) を a を用いて表せ.
(3) f⁡( a) の最小値とそのときの a の値を求めよ.
2017-10381-0106
工学部
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 数列 { an } の初項 a 1 から第 n 項までの和 S n が, Sn= n+2⁢ an を満たしているとき,数列 { an } の一般項を求めよ.
2017-10381-0107
(2) 自然数 n に対して,次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ.
∑k=1 nk ⁢(k +1) ⁢(k +2) ⁢(k +3) =1 5⁢ n⁢ (n+1 )⁢( n+2) ⁢(n +3) ⁢(n +4)
2017-10381-0108
(3) 3 次方程式 4 ⁢x3 -4⁢x 2+x- k=0 が異なる 3 個の実数解をもつように,定数 k の値の範囲を定めよ.
2017-10381-0109
【2】 四面体 OABC において, OA→ =a→ , OB →= b→ , OC→ =c→ とし, |a →| =1 , | b→ |=2 , |c →| =5 , a→ ⋅b→ =1 , a →⋅ c→ =b→ ⋅c→ =0 とする.辺 OA の中点を D とし,点 P , Q をそれぞれ CP→= s⁢CD → ( 0≦ s≦1 ), BQ→ =t⁢BA → ( 0≦t≦ 1 ) となるようにとり,線分 PQ の中点を R とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) OR→ を s , t , a → , b → , c → を用いて表せ.
(2) s , t がそれぞれ 0 ≦s≦1 , 0≦t ≦1 の範囲を動くとき,点 R の存在範囲の面積を求めよ.
(3) 直線 OR と面 ABC の交点を S とする. ▵SAB , ▵SBC , ▵SCA の面積比が 8 :7:6 となるとき, s と t の値を求めよ.
2017-10381-0110
【3】 表が出る確率が p であるコインを 1 枚投げるという試行を n 回繰り返す.そのとき, n 回目で初めて表が出る確率を a n とおく.また, 1 回以上表が出る確率を b n とおく.以下の問いに答えよ.ただし, 0<p <1 とする.
(1) an を求めよ.
(2) bn を求めよ.
(3) p= 150 とする. bn > 12 となる最小の n の値を求めよ.ただし, log10 ⁡2=0.3010 , log10 ⁡7= 0.8451 としてこれらを用いてもよい.
2017-10381-0111
医(医学科)学部
【1】 自然数 n に対して, x+2⁢ y+5⁢ z=10⁢ n を満たす 0 以上の整数の組 ( x,y, z) の個数を a n とおく.以下の問いに答えよ.
(1) a1 , a2 を求めよ.
(2) bn= an+ 1- an とおくとき, bn を n の式で表せ.
(3) 数列 { an } の一般項を求めよ.
2017-10381-0112
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【2】 胎児の性別を判定するための検査法がある.この検査法は,
・産まれてくる子どもの性別が男の場合,男と判定する確率が 1720
・産まれてくる子どもの性別が女の場合,女と判定する確率が 34
・検査結果は,男か女かのいずれか
であるとする.以下の問いに答えよ.ただし,産まれてくる子どもの性別が男である確率と女である確率は等しいとする.
(1) 産まれてくる子どもの性別が女であるとき,誤って男と判定される確率を求めよ.
(2) 検査結果が男である確率を求めよ.
(3) 検査結果が男である場合と女である場合とでは,どちらがより高い確率で正しいか答えよ.
2017-10381-0113
【3】 0<θ <π とし,媒介変数 t によって表される曲線 C :x=t -sin⁡t , y=1 -cos⁡t 上の点 P ( θ-sin⁡ θ,1- cos⁡θ ) における法線 l と直線 x =π との交点を Q とする.また, l と x 軸との交点を R とする.以下の問いに答えよ.
(1) l の方程式を求めよ.
(2) 線分 PQ の長さを f ⁡( θ) とするとき, limθ →π- 0f⁡ (θ ) の値を求めよ.
(3) 原点から P までの曲線 C の長さを s とする.このとき,不等式 s <2 を示せ.
2017-10381-0114
【4】 xyz 空間において, z 軸を回転軸として平面 x =-2 を, y 軸の負の部分と交わるように 45⁢ ° 回転させてできた平面を α とする.さらに球面 ( x-1) 2+ y2+ (z +2) 2=8 を α で 2 つに分けてできる 2 曲面のうち, z 軸と交わらない方の曲面を β とする.ただし, β はこの球面と α との共通部分を含む.曲面 β を平面 z =-2 で切ったときの切り口を曲線 C とし, C 上の動点を P とする.以下の問いに答えよ.
(1) 平面 α と曲面 β とで囲まれた部分の体積を求めよ.
(2) 定点 A ( 5,4, 1) を取るとき,線分 AP の長さの最大値を求めよ.またそのときの P の座標を求めよ.